2020年9月8日,星期二

神,恶魔和凡人

雷蒙德·斯穆利安(Raymond Smullyan) 模仿一只知更鸟 介绍经典的有趣变化 骑士和刀逻辑难题。说谎的刀和真实的骑士与来自另一个层面的生物结合在一起:说谎的恶魔和真实的神灵。 

最初添加新的说谎者和讲真话的人会增加困惑的数量,并提供有趣的变化。但是,如果不对谜题格式进行其他更改,则具有两个以上的骗子和讲真话的人就可以减少可以生成的谜题的数量,并将可用的谜题减少到本质上两个无趣的品种。

标准的骑士和刀谜的设置是在一个区域中存在两种居民:总是讲真话的骑士和总是说谎的骑士。据说骑士和小刀处于不同的“立场”。我们想象一个旅行者遇到了一群这样的居民,并试图根据居民做出的某些陈述来弄清他们的类型。

让我们看看引入神灵和恶魔如何改变一系列骑士和刀谜。考虑一下有两个居民(爱丽丝和鲍勃)可能是骑士或小刀的难题。 A和B分别从这10种可能的陈述中作出陈述:(1)我是骗子,(2)我是讲真话的人,(3)他们是讲真话的人,(4)他们是骗子的, (5)我们中至少有一个是真相出纳者,(6)我们中至少有一个是骗子,(7)我们是骗子,(8)我们是诚实的,(9)我们站在同一侧,( 10)我们处于不同的方面。

如果我们考虑分别由A和B进行的这些语句对的组合,则某些对将导致没有解决方案(A或B说“我是骗子”)或许多解决方案(A和B都说)的情况。 “我是个真相”。有些将导致正当的难题,而其中只有一种可能的解决方案。我们可以从中生成38个谜题,在下面的图表中,由下面的图表中的蓝色正方形表示,其中删除了不生成谜题的行和列(例如“我是骗子”)。

一些简单陈述的骑士和刀谜

当只有骑士和小刀时,其中一些陈述可以告诉我们很多。

(1)居民说“我是骗子”。这种说法会引起著名的骗子悖论,不会引起任何困惑,因为骑士和刀匠都不会这样说。

(2)居民说“我是诚实的”。该语句没有告诉我们任何内容,因此只有在另一条语句告诉我们所有内容时才能发生。骑士和小刀都可以这样说。

(3)居民说:“他们是讲真话的人。”这告诉我们居民是同一种类型,就像刀匠所说的那样,而骑士说骑士则是这样。

(4)居民说:“他们是骗子。”这就告诉我们居民是不同类型的,就像一个刀匠说的是骑士,而骑士说刀子的则是骑士。

(5)一个居民说:“我们中至少有一个是真相出纳者。”这就告诉我们,如果说说话的居民是个刀匠,那么另一个居民也是。

(6)居民说:“我们中至少有一个是骗子。”这告诉我们说话者不能是一个k夫(如果他们是这样的话,那就是真的),所以说话者必须是一个骑士,另一个必须是一个n夫。

(7)居民说“我们是骗子”。说话者不能是骑士,所以说话者必须是骑士,另一个必须是骑士(以确保陈述不正确)。

(8)居民说“我们是诚实的”。这告诉我们,如果说话的居民是骑士,那么其他居民也是如此。

(9)居民说:“我们站在同一侧。”这告诉我们另一个居民必须是一个骑士(一个骑士会这样说一个骑士,一个骑士也会这样)。

(10)一个居民说:“我们站在不同的一边。”这告诉我们另一个居民必须是一名刀匠(一个刀匠会这样说,一个刀匠,一个骑士也会这样)。

如果我们在这些难题中添加神灵和魔鬼,那么书写时的陈述组合将不会产生适当的单解难题。但是,我们可以更改一些语句以使其更有效率。 “我是个骗子”可以用它的变体“我是个骗子”代替,实际上它可以被恶魔毫无矛盾地说,或者“我不是一个骑士”,可以用神来形容。概括“我们是诚实的”这样的陈述的一种方法是认为它是“我是骑士,他们是骑士”,然后考虑其他“和”陈述(例如“我是恶魔,他们是骑士”)。恶棍”)。类似地,“我们中至少有一个是骗子”与“我是个行家或他们是个行家”相同,并且可以扩展到涉及不同类型的其他“或”陈述。使用这些附加语句,我们可以生成204个涉及神,恶魔,骑士和刀的难题,如下图所示。


一些简单陈述中的神,魔鬼和凡人难题

如果我们将其进一步扩展,并且不仅考虑两种说谎者或讲真话者,而且考虑三种呢?我们可以有三种类型的说谎者:knave-0,knave-1和knave-2,以及三种类型的真相告诉者:knight-0,knight-1和knight-2。仍然将每个可能的谜题中的居民数量限制为2,这会大大增加陈述的数量。

但是,当我们这样做时,我们的困惑变得极其无趣。唯一的困惑发生在一个居民做出确保另一个人说实话的陈述时,而第二个难题则明确说明了两个居民是什么类型。这些陈述中只有54个难题,总结如下表。与其他图表一样,删除了完全没有拼图的行和列。您可以在上面显示的“神魔”图表中找到这些有趣的拼图的较小副本。


3种骗子和3种讲真话者:这种情况
允许一组非常有限的难题

介绍神灵和恶魔,以及一些其他陈述,产生了一组有趣的 “两个居民”难题,但除此之外,增加不同类型的骗子和讲真话的人数,会使难题缩小并且变得更少变化。也许有一种方法可以更改语句或更改拼图的格式,以使更通用的n-knight和n-knave拼图更加丰富?

可以在这里找到一组生成的神,恶魔和凡人拼图: //dmackinnon1.github.io/godsAndDemons/

从谷仓的被子到清真寺的瓷砖

最近在安大略省南部旅行时,我很高兴看到 谷仓被子 沿着高速公路行驶。一些谷仓被子是  拖船图案 ; 其他(尽管不限于使用)麻将牌基于网格,并且可以在没有指南针的情况下创建。

一种将成为
好的谷仓被子

上面的拖链图案是星形图案的一个实例,通常在网格涂鸦中出现-例如,在Froebelian的礼物和指南中,可以找到此“内星”和相关的“外星”(请参见  幼儿园 Guide by 玛丽亚·克劳斯(MariaKraus-Boelté)和 John Kraus, 1877).


外星和内星(后 图299
幼儿园  Guide)


通过反转每个凹痕,可以从“内星”获得“外星”。

外在和内在
叠加的

如果我们扩展外星的所有边缘,则会得到一个新的“大星”,该星将填充10x10的网格。

更大的星星:
外星

将大恒星的每个边缘进一步延伸一个单位并连接边缘,如下所示,我们得到一个12x12的小花图案
大星小花和平铺

使用此模式作为镶嵌的单位,我们得到了在凯鲁万清真寺发现的一个平铺瓷砖的近似值(请参见 这里也是 )。