2017年10月3日星期二

一个truchet拼图神秘

我认为创建一个Truchet拼图的页面很有趣,而在这样做的同时,我注意到一些惊讶我的东西:即使他们被随机生成,相同大小的所有谜题都具有完全相同的复杂程度。

单个拼图件
可以将其旋转成4个位置

在这些谜题中,类似于上面的Truchet瓦片用于创建特定模式。所有的部分都是一样的 - 这只是一个正确旋转它们的问题,以制作您的目标。

一个truchet拼图:你能做到这个模式吗?
只使用Truchet瓷砖?

我们可以使这些Truchet如果我们具有特定的起始排列,并且增加了使用最小数量的移动(单个瓦片的顺时针旋转)来从起始排列到目标排列的限制,从而使这些Truchet陷入困境。

将需要多少顺时针旋转才能进行变换
左边的正方形到右边的一个?

这一页,你可以尝试这样的一些谜题。因为只允许顺时针旋转件,所以您可能必须旋转给定的瓷砖0,1,2或3次以使其进入所需位置。

请试一试: //dmackinnon1.github.io/truchet/match.html

在设置此拼图页面时,我使用了一个限制的一组安排,以了解起始和目标安排。对于起始安排,我在同一位置的所有Truchet瓦片。让我们打电话给这个 排列类型a 制服 Truchet广场。给定尺寸的4个不同均匀的Truchet平方;这是一个 n = 6:

a 统一的Truchet Square.:所有瓷砖
处于同一位置

因为我喜欢他们看的方式,所以我选择了目标安排总是拥有 4倍旋转对称。事实证明的重要选择。这些Truchet方块具有均匀长度的侧面,并且可以分成4个象限 - 当我们在顺时针方向上围绕象限移动时,每个象限中的图案是前一象限中的图案的90度旋转。

您可以制作具有4倍旋转的Truchet平方
对称 - 他们往往很好看。

通过这些限制,我发现:
  • 所有2x2拼图在6个移动中可解决。
  • 所有4x4拼图在24个移动中可解决。
  • 所有6x6拼图在54次移动中可解决。
神秘地,无论为目标选择什么模式,所有相同尺寸的谜题都需要相同数量的措施来解决。 

始终相同大小的对称拼图
具有相同数量的所需动作

一般而言,它证明对于任何Truchet Square T 侧面长 n 和4倍的旋转对称性, T 将始终是6 *(n / 2)^ 2远离任何均匀的Truchet广场的旋转。

这比原来的谜题更令人费解:我的随机生成的谜题怎能需要相同数量的动作来解决?

要了解为什么如此,我们可以找到一种方法来计算将统一的Truchet广场转换为具有四倍旋转对称的均匀旋转所需的所有旋转,并看到这不依赖于启动的特定选择安排或目标。 这结果比你可能期望的更容易。
U 是侧长度的均匀特鲁特平方 n, 和 T 是一个具有4倍旋转对称的特鲁克正方形,也是一侧长度 n。我们将计算变换需要多少次旋转 U into T
t1 是第一个象限的瓷砖 U。如果我们将其图像旋转到另一个象限,我们有一组4个瓷砖, T1,T2,T3, 和 t4。其中一个将与相应的瓷砖对齐 T (自瓷砖 T 躺在同一个位置 t1, t2, t3, 和 t4 通过所有4个位置旋转,而瓷砖 U 都处于同一位置)。它需要0移动该瓦片将其放入与相应的瓷砖相同的位置 T。当我们围绕象限移动到我们所选瓷砖的其他图像时,它们都将处于同一位置(U 是均匀的),但相应的瓷砖 T 将旋转。相应的瓷砖 T 将从瓷砖提前1,2和3次旋转 U。因此,第一象限中的每个瓦片将与其在旋转下的图像一起,贡献0 + 1 + 2 + 3 = 6旋转,以变换所需的整体旋转数 U 进入 T。在第一个象限中有(n / 2)^ 2瓦片,因此变换所需的旋转总数 U into T will be 6*(n/2)^2.
对于给定的n,它总是采用相同的移动数量
 改变统一的Truchet广场 U 进入 another
一, T, 如果 T 有4倍的旋转对称性

需要相同数量的移动的所有谜题的原因是目标的4倍对称性(以及起始排列的均匀性)。如果我们允许非对称的目标安排,或者改变所使用的起始排列,则将我们的起始排列转换为目标布置所需的旋转次数可以位于0到3N ^ 2之间的任何位置。

一个24 x 24 Truchet正方形,旋转4倍
对称 - 从统一的正方形开始,如何
重新创建许多动作需要呢? 

为什么具有旋转对称的特鲁特方块似乎特别好?人脑喜欢对称性,但在特鲁特方块的情况下,似乎特别合适地被绘制到这样的布置。单独的Truchet瓷砖缺乏旋转对称性 - 这种缺乏对称性是让他们表达力量的原因。通过将它们布置成具有旋转对称的方形图案,我们克服了原始瓷砖的不对称,吸引可能需要我们的需求 统一对立面,或表达一个感觉 辩证张力.

Truchet瓷砖上的一些早期帖子:
truchet en plus
Truchet瓷砖