2017年12月19日星期二

你好Phyllotaxis

音轴 螺旋线是休闲数学的最爱-经常与其他常年性主题(例如黄金中位数和斐波那契数)一起进行探索。

当我尝试一种新的数据可视化平台或编程语言时,我喜欢尝试将叶序螺旋线绘制为一种“你好世界 。” 我最新的“ Hello Phyllotaxis”是在学习如何使用的早期阶段出现的 D3js。你可以试试看 这里 .

用D3js绘制草图(请参阅  这里 )

这里 是Desmos的“ Hello Phyllotaxis”(博客文章 这里 )。多年以来,我还指出了使用Fathom的类似phyllotaxis的草图 这里 ,加工 这里 和R 这里 .

在上图中,黑眼圈是通过从中心跳过计数来选择的-在这种情况下,跳过计数以11表示(请参阅第6页的 这个帖子 )。

以下是该小“程序”在我尝试过的各种平台上的显示方式的简要视觉综述。


用Fathom草绘(请参阅  这里 )


通过处理进行草绘(请参见  这里 )

用R草绘(请参见  这里 )

用Desmos绘制草图(请参阅  这里  and 这里 )




2017年12月7日星期四

建造门廊's Caskets

在莎士比亚的 威尼斯商人,波西亚通过要求求婚者发现三个棺材中的哪个掩盖了她的画像来对求婚者进行了测试。棺材上的铭文提出了一些难题,这些难题将挑战她潜在伴侣的美德。在他的经典中 这本书的名字是什么? 逻辑学家Raymond Smullyan想象了好几代聪明的Portias,向潜在的求婚者展示了刻有逻辑谜题的棺材,这些棺材为寻找她的隐藏肖像提供了关键。

这一页 我已经设置了(大致上)对应于Smullyan的交互式拼图生成器’的前三代Portias。在这篇文章中,我想我将描述我对解决难题的方式感兴趣的方面,以及 它们是如何产生的。找到了生成并呈现这些难题的代码 这里 .

这里 's the first Portia's Caskets puzzle in "这本书的名字是什么?":


解决此类问题的一种方法是 向后工作。对于每个棺材,想象一下肖像被隐藏在那个棺材中,然后计算多少个陈述是正确的。当您找到符合“至多为真”要求的人像摆放时,便有了解决方案。

建立第一个348 Portia Puzzles

向后工作还为我们提供了一种方法 生成 像这样的难题。要产生这些困惑,请考虑棺材上所有可能的陈述。每组陈述都给您三个可能的难题:一个肖像在金棺材中的难题,一个肖像在银棺材中的难题以及一个在铅棺材中的难题。要找出其中是否有(或全部)有效的可解决难题,请检查肖像摆放位置是否为您提供了在该组潜在难题中唯一的“真实计数”。

但是生成“所有可能的语句”呢?可以包括哪些声明?棺材上的陈述可以认为是指向棺材的指针,指针可以是正数(“画像在银色棺材中”)或负数(“画像不在金棺材中”),并且可以直接使用在当前棺材本身上(“画像在此棺材中”)。

对于三个棺材,这可以表示为三个整数的数组。例如,上述谜题的语句将表示为[1,-2,-1],第一个位置的1表示第一个棺材正指向自己(“画像在此棺材中”)。第二个位置的-2表示 第二个棺材指向自己的身形为负(“肖像不在此棺材中”),而在第三位置的-1表示第三个棺材指向的是第一个棺材指向的负性(“人像不在此棺材中”金棺材”)。我们可以使用下面的图表来分析这个难题:


对于说“最多有一个真实陈述”的难题,这意味着该肖像位于棺材2(银色)中,这是唯一给出最多一个真实陈述的位置。该图表还告诉我们,我们不能使用这种陈述安排来弥补其他难题,例如“没有真实的陈述”或“有两个正确的陈述”,因为其他棺材的位置(p = 1,p = 3)都使两个陈述正确。

因此,生成此类Portia Casket问题很容易:首先生成长度为3(对于三个棺材)的所有列表,这些列表由值-1,-2,-3、1、2、3(对于正值和负值)组成关于三个棺材)。这些清单中的每一个都给出了三个可能的谜题的一个家族-每个棺材中都有一个肖像供您选择。检查每个可能的解决方案,以查看该解决方案中有多少条语句为真。任何给出真实计数的解决方案在该家族中都是唯一的,它对应于一个有效的难题。

对于三个棺材,按照这种生成谜题的方法,我们总共得到  348个谜题。其中一些很容易,例如线索是“所有陈述都是真实的”,而一个棺材说“画像在这里”。

Smullyan的第一个Portia拼图,拼图67a,对应于带有标识符的拼图 portia1-44 在我们的Portia I发电机中Smullyan展示了第一代Portias的另一个谜题,谜题67b。这个难题有陈述[-2,-2,3],并对应于 portia1-271 在Portia I发电机中。

所有的Portia I拼图都列在其中 这个json文件。这是一个来自 这页纸:


希望您可以看到我们将语句表示为[-1,-2,2],并且此难题的解决方案必须是棺材1。


寻找 16152 more!

在“这本书的名字是什么?”中第二代Portia在每个棺材上放两个陈述,使难题变得更加棘手。我们的Portia II发电机基于Smullyan的拼图68b。



显然,这些谜题与Portia I谜题非常相似,除了:(1)有两个语句列表,(2)而不是给出真实语句的总数,我们描述分布(“这两个陈述都是正确的,在另一个陈述中都是错误的,在第三个陈述中是正确的,而另一个则是错误的”)。

如果我们将语句建模为两个整数列表,例如上面的[-1,-1,-3],[2,3,1],然后对于每对列表都包括拼图,其中肖像位置会生成一个独特的分布,我们可以制造像这样的难题。如果我们仅将第一条语句列表与第二条列表交换,则排除第二条语句与第一条语句相同的语句列表是有意义的,并考虑相同的难题。

按照这种方法,我们得到了大量(16152)个谜题(它们都是 这里 )。这些方法通常比Portia I拼图要难得多,尽管解决它们的方法基本相同。上面的难题68b对应于 portia2-6854, 尽管我们使用的Portia II算法将第一条语句列表交换为第二条语句列表(它生成为  [2 ,3, 1],  [-1, -1, -3]).

这是生成的难题的示例:


对于这个特殊的难题,我们不必倒退,我们可以采取直接的方法,在棺材2上有矛盾的说法作为辅助。我们知道这必须是一个只有一个真实陈述的棺材。由于棺材1上的陈述不能同时为真,因此我们知道这必须是没有真实陈述的棺材。这意味着棺材3是带有两个真实陈述的棺材。棺材3上的其中一项陈述说,画像位于棺材2中...所以必须摆在那儿。


贝里尼和切利尼给了我们3600个难题

与其告诉我们有多少个棺材具有正确的语句,或不将真实的语句分布在各个棺材上,而是解决另一个难题,是找出哪些语句正确与错误的关键呢?


尝试生成“贝利尼和切利尼”难题时,我决定采用一种与“本书的名称是什么”中的任何难题都不完全匹配的方法,而是将Portia I,Portia II和Smullyan在上一章中描述的“骑士与刀”难题(请参阅 这个帖子 )。

对于Portia III,我们认为棺材的铭文与Portia I类似,但也有一个额外的铭文,说明棺材的出处。例如,棺材1可能带有题词“棺材2由Bellini制造”。您可能会认为“太好了,这意味着棺材2上写的任何东西都必须是真实的”。好吧,仅当棺材1也由贝利尼制造,由Cellini制造时,这才是正确的,那么棺材2上写的任何东西实际上都是错误的。

因此,我们的Portia III算法实际上是一组Portia I语句,并在其上分层了一个“三岛骑士和小刀难题”。您可以了解更多有关这些的信息 这里 。为简单起见,选择了一种特殊的“三个岛民”问题:三个棺材(小岛民)使用2个“指控/肯定”和一个“相似/不同”陈述彼此指向。这些总是(非常容易)可解决的。也许未来的Portia拼图生成器将涉及Bellini的不同品种& Cellini statements.

当前算法生成的所有Portia III难题都列在其中 这个json文件。让我们尝试一个:



棺材2包含题词“由与1不同的制造商制造”。如果棺材2是贝里尼(Bellini)制造的,这意味着棺材1是切利尼(Cellini)制造的,因为我们可以信任棺材 在这种情况下为2。另一方面,如果棺材2由切利尼(Cellini)制造,那么我们应该不相信该说法,并得出结论,棺材1由同一制造商(Cellini)制造。因此,无论谁制造棺材2,我们都知道棺材1是切利尼(Cellini)制造的,其铭文为假。现在,棺材1做出(错误)断言,棺材3是由Cellini制造的-因此我们知道,棺材3实际上是由Bellini制造的,并且必须仅包含真实的铭文。棺材3说肖像是在棺材2中,因此我们相信:


向后工作不是使用Portia III的方法:这些难题需要您首先解决Bellini / Cellini的谜语,并弄清楚哪些棺材说明了事实,哪些棺材在说谎。接下来,您可以使用此信息遵循对肖像的正确(或错误)陈述。

生成这些谜题时,方法是首先生成所有可能的Portia I语句。对于给定的一组语句,每个可能的解决方案(案例1,案例2或案例3)使每个语句为true或false。为了验证拼图是否可以解决,我们需要检查一旦知道每个陈述的真假就可以发现肖像。有一个简单的规则: p 是肖像的位置,那么要么我们需要一个带有价值的陈述 +/- p,否则我们需要为每个其余的棺材声明。一个不起作用的难题的例子是[1,1,1]其中 p =2。三个棺材都在躺着(他们都说画像在棺材1中),但是没有足够的信息告诉我们画像在棺材2还是3中。相同的陈述列表,[ 1,1,1]是有效的难题,如果 p =1。有了解题难题后,我们可以覆盖几个不同的Bellini&切利尼的谜语会说哪些棺材在撒谎,哪些陈述真理。

因此,总而言之,这三个门廊给了我们 20100个难题,足以让我们忙一阵子。挖掘它们很有趣,希望您也乐在其中-请尝试一下: //dmackinnon1.github.io/portia/ 


波西亚:
蜡烛就这样烧飞蛾了。
哦,这些故意的傻瓜!当他们选择时
他们有智慧,有失智。 
-第二幕,第七幕,威尼斯商人 


2017年11月18日,星期六

骑士和小刀岛

在经典的逻辑问题中,我们被要求想象一个由两种类型的人组成的岛:一类总是讲真话的人(骑士)和一类总是讲谎言的人(刀)。在基于这种底盘的拼图中,岛民发表声明,我们必须弄清楚哪些岛民是骑士,哪些岛民是刀。

这一页 将产生难度各异的骑士和刀谜。这里’s an example:

An "easy" puzzle from //dmackinnon1.github.io/knaves/

所有这些难题的祖父是一个实际的岛民,他引用了一个实际的岛屿 -约公元前600年,克里特岛 淫羊ides 被认为是对帐单“所有克里特岛人都是骗子。”此后,乐趣一直没有停止。

岛屿之谜的权威来源是“这本书的名字是什么?” by 雷蒙德·M·斯穆林从简单的开始(在岛上只有骑士和小刀)到包括法线(有时是撒谎,有时是说实话),疯狂的(他们认为撒谎是事实,反之亦然)建立了这些看似简单的谜题),猴子,骑士和刀俱乐部,吸血鬼,狼人和其他角色。这本书使用这些杂乱无章的工作人员,巧妙地将我们引向基于拼图的戈德尔声明’的不完全性定理。

我们将坚持第一种谜题:一个岛上的骑士和小刀。我们如何解决以上难题?这是推理的一种方法:

 
生成难题的示例解决方案
at //dmackinnon1.github.io/knaves/

上面提到的拼图生成页面将自身限制为骑士和小刀做出三种陈述:

指责与肯定
在一项指控中,一名岛民A说了类似“ B是个n夫”之类的话或类似的陈述,例如“ B总是说谎”。肯定地说,岛民A说了类似“ B是骑士”或“ B总是说实话”之类的话。

不幸的是,我们不知道A是否在说真话,那么我们怎么知道他们对B的说法是否正确?即使不知道A的类型,我们也可以从这些语句中学到一些有关A和B的有用信息。如果A和B通过指控联系在一起,则它们的类型必须不同:A是小刀,而B是小刀,反之亦然。如果A和B通过确认链接在一起,则它们必须是同一类型:要么都是骑士,要么都是刀。看看是否可以推理出为什么一定要这么做。

解决具有多个指责和肯定的谜题时,使用的一种方法是绘制图表(如 旧帖子 )。

刀连词
n语连词的一个例子是,当A说“ B是骑士,或者我是k语”时,或者 “ C是个小品,我是个小品。”

这些声明非常有帮助,因为它们总是告诉我们说话者和口头说话者的类型。任何说“或我是个拳手”的岛民都会发表一个必须是全面,真实,因此是骑士的声明,而任何说“我是个拳手”的岛民都会撒谎,而且必须是个拳头。尝试说服自己。

关于“知识连接”的一个有趣的事情是,它们的有用性来自它们与“知识连接”的距离有多近。 骗子悖论。说谎者悖论是对Epimenides最初声明的一种更加自我指导的改进,我们在其中设想有人说:“我在撒谎”,想知道他们是否在说真话。

岛民不能发表“我在撒谎”或任何类似的陈述,例如“我是个拳手”。如果这样的陈述是正确的,那么说话者在撒谎,这使得陈述也为假。如果为假,则发言者在撒谎,使陈述也成立。因此,这样的陈述是矛盾的-既不是错误的也不是真实的,而我们的岛民只能使用正确或错误的陈述。

然而,岛民可以通过将其陈述作为子句与另一种陈述包括在内,来接近产生说谎者悖论。要了解他们如何做到这一点,您必须弄清楚包含“ and”和“ or”的语句如何工作。如果岛上有人说“ X或Y”,则只有X或Y必须为真才能使整个语句为真。因此,当只有一个陈述为真时,骑士可以说“ X或Y”。但是,如果一个小刀说“ X或Y”,那么X和Y都必须为假(如果一个为真,则整个语句将为真,而一个小刀不能做出真实的语句)。如果岛民说“ X和Y”,则X和Y都必须为真才能使该语句为真,并且只有一个为假才能使该语句为假。因此,当只有一个语句为假时,一个a夫可以说“ X和Y”。

异同陈述
有时,岛民A可能会说“ B是我的类型”或“ C不是我的类型”。我们可能不知道A是骑士还是骑士,但是我们可以立即推断B和C的类型。无论A在撒谎还是在说实话,如果A声称“ B是我的类型”,那么B必须是骑士。另一方面,如果A声称“ C不是我的类型”,则我们知道C是一个刀法。你同意吗?

将这些陈述与我们的第一种陈述(“指控/肯定”)进行比较是很有趣的,这两种陈述在某种程度上是对等的。当一个岛民直接说出另一个岛民是什么类型(指控或肯定)时,我们所学到的是,陈述的来源和目标是相似或不同的,而没有学习实际的类型。但是,当一个岛民发表关于相似性或差异性的陈述时,我们会确切地了解目标是什么类型,而无需了解目标与源是相似还是不同。

岛民可能会说更多有趣的事情,但是一旦您弄清楚了这三种陈述的工作原理,就可以克服难题。 .

2017年11月10日,星期五

三六角和菱形拼贴


上图是两个镶嵌的叠加。深色的粗线显示了由规则的六边形和三角形(  三六角形 tiling).

亮线显示了黑线细分的倒数部分(或双重部分)。

要创建相互细分,请对原始细分中的每两个相邻图块,通过垂直于其共享边的线段将两个图块的中心连接起来。此线段成为相互细分中图块之一的边缘。

三边形拼贴的倒数完全由菱形组成, 菱形 平铺。

2017年10月23日,星期一

丢番亭

您可能有一个实值函数,但只想查找输入和输出均为整数的那些点。

例如,考虑 y = sqrt (x)。假设您有一个图 sqrt (x),并希望显示的值 x 给出一个整数结果 y,即 x are perfect squares:


y = sqrt (x)仅显示整数解

我最近了解了如何在其中查找和显示某些类型的方程的整数解 德斯莫斯 ,并认为我会写一篇有关如何执行此操作的文章。 

当我们只关心方程的整数解时,我们将其称为 丢番图方程。通常,丢番图方程可以采用多种形式-此处描述的技术可以用于有限类的问题,在这些问题中您可以将丢番图方程表示为函数 k = f(n),在哪里 f 取整数 n 作为输入并想知道哪些输出 k are also integers (k > 0).

步骤1-定义您的实际价值函数
让我们看看如何使用  sqrt (x)。首先,绘制实值 f(x )= sqrt (x)函数,并通过对整数范围求值来创建点列表,该图显示了图上有很多点,我们在其中放置了一个整数,并得出了一个非整数。


接下来要做的是使用Desmos中内置的一些函数来创建一个整数检测器函数,我们可以将其应用于 f(x )。

第2步-创建整数检测器函数
我们想构建一个函数,该函数可以判断给定输入是否为整数,然后使用它来查找何时有一个整数值作为 f(n )。  

我们想创建一个 指示符 如下所示的整数函数:


为此,我们可以利用Desmos中的一些内置函数- 天花板 地板 功能。 

功能 细胞 将十进制值四舍五入到最接近的整数,然后 地板 将其舍入到最接近的整数。  Consequently, 地板 (x) <= 细胞 (x),只有在  x 是一个整数。另请注意 x > 0,  细胞 (x)!= 0,并且 地板 (x )/ 细胞 (x) <= 1,仅当 x 是一个整数。功能 地板 (x )/ 细胞 (x)几乎是我们想要的-仅当 x 是一个整数。要获得零时的函数 x 不是整数,我们取 地板 再次:


通过组成 tf,我们得到一个函数 tf 告诉我们什么时候 f 是整数。绘图 t(f(x))的整数输入范围,向我们显示了 f 给出整数结果。

红色点表示(x,tf(x))的值,磅
蓝色显示(x,f(x))的值。 

最后一步是整合 tf 到我们的图中,以便我们可以绘制整数解 y=f(x )。

步骤3-利用未定义的优势
德斯莫斯 可以优雅地处理未定义的点-不会绘制它们。因此,如果我们创建一个函数 g,与 f 哪里 f 接受整数解,但在没有整数解时则不确定,我们可以让Desmos精确绘制所需的点,而无需绘制其他点。


去创造 g,我们可以结合 f 通过我们的指标功能 t:


使用此新函数绘制点仅显示与f(x)的整数解相对应的点。

y = sqrt(x)的整数解,图 这里


另一个例子-勾股三元
试图找到Diophantine方程的另一个例子 勾股三元组。毕达哥拉斯三元组是方程a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2的整数解。

一开始看起来像我们可以’将上面开发的方法应用于发现勾股三元组的问题-似乎有太多变量在起作用。但是,我们可以利用Desmos提供的其他功能在一定范围内探索问题。

我们可以先将函数定义为两个变量函数,然后使用部分求值来获取新的单个变量函数,并通过滑块对其进行参数化 p.


这使我们能够探索勾股定点三元组,其中三角形的一条腿固定(由值确定) p)。使用上述方法,我们可以找到涉及p作为三脚之一的三元组。

德斯莫斯 发现了一些三元组, 
其中p = 24(图 这里 )

例如, p = 24时,Desmos会找到三元组(24、7、25),(24、18、30),以及上图中显示的其他三元组。



一些与Desmos有关的旧帖子:
- 德斯莫斯 中的大脑和螺旋桨分形
- 使用Desmos的多边形数图
- 提摩斯螺旋
- 德斯莫斯 中的螺旋体


2017年10月3日,星期二

特鲁谢谜题之谜

我认为创建一个Truchet拼图页面会很有趣,并且在执行此操作时,我注意到一些让我感到惊讶的东西:即使它们是随机生成的,所有相同大小的拼图也具有完全相同的复杂度。

一块拼图
可以旋转到4个位置

在这些难题中,Truchet瓷砖(如上面的瓷砖)用于创建特定的图案。所有部分都是相同的-只是正确旋转它们以形成您想要的图案的问题。

特鲁谢难题:您能做这种模式吗
仅使用Truchet瓷砖?

如果我们有特定的起始布置,我们可以使这些Truchet拼图更有趣,并增加使用从起始布置到目标布置的最小移动量(单个图块的顺时针旋转)的限制。

转换将需要多少个瓦片顺时针旋转
左边的正方形到右边的正方形?

这一页,您可以尝试这样的一些难题。由于只允许您顺时针旋转碎片,因此可能必须将给定的图块旋转0、1、2或3次,才能使其到达所需的位置。

请试一试: //dmackinnon1.github.io/truchet/match.html

设置此拼图页面时,我对开始和目标安排都使用了一组受限制的安排。对于开始的安排,我将所有Truchet瓷砖都放在同一位置。叫这个 安排类型 制服 特鲁谢广场。给定大小将有4个不同的统一Truchet正方形;这是一个 n = 6:

a 统一的特鲁谢广场:所有瓷砖
在同一位置

因为我喜欢它们的外观,所以我选择了始终具有的目标安排 4倍旋转对称。事实证明,这是一个重要的选择。这些Truchet正方形的边长均等,可以分为4个象限-当我们沿顺时针方向围绕象限移动时,每个象限中的图案是前一个象限中图案的90度旋转。

您可以将Truchet正方形旋转4倍
对称-它们看起来很不错。

有了这些限制,我发现:
  • 所有2x2拼图均可在6个动作中解决。
  • 所有4x4拼图均可在24个步中移动。
  • 所有6x6拼图均可在54个动作中解决。
神秘地,无论为目标选择哪种模式,所有相同大小的谜题都需要用相同数量的动作来解决。 

总是相同大小的对称拼图
具有相同数量的所需动作

一般来说,对于任何Truchet广场 T 边长 n 和四重旋转对称性 T 始终与任何均匀的Truchet正方形相距6 *(n / 2)^ 2旋转。

这比最初的难题更令人困惑:我的随机生成的难题怎么都需要相同数量的动作才能解决?

要了解为什么会发生这种情况,我们可以找到一种方法来计算将统一的Truchet正方形转换为具有四重旋转对称的正方形所需的所有旋转,并且可以看出这并不取决于起始点的特定选择安排或目标。 事实证明,这比您预期的要容易。
U 是边长的均匀Truchet正方形 nT 是具有4倍旋转对称性(也具有边长)的Truchet正方形 n。我们将计算转换所需的旋转次数 U into T
t1 成为第一个象限中的图块 U。如果我们考虑将其图像旋转到其他象限,则我们有一组4个图块, t1,t2,t3t4。其中之一将与对应的图块对齐 T (因为瓷砖在 T 处于与 t1, t2, t3t4 旋转通过所有4个位置,而 U 都在同一位置)。此图块将需要0次移动才能与 T。当我们在象限中移动到所选图块​​的其他图像时,它们都将位于同一位置(U 是统一的),但对应的图块 T 将被旋转。的对应图块 T 将从的图块开始分别旋转1、2和3个旋转 U。因此,第一象限中的每个图块及其旋转下的图像将为变换所需的总旋转数贡献0 + 1 + 2 + 3 = 6旋转 U 进入 T。第一象限中有(n / 2)^ 2个图块,因此变换所需的总旋转数 U into T will be 6*(n/2)^2.
对于给定的n,它总是需要相同数量的移动
 变换统一的Truchet正方形 U 进入 another
一, T 如果 T 具有四重旋转对称性

所有谜题需要相同移动次数的原因是目标的4倍对称(以及起始布置的均匀性)。如果我们允许非对称目标布置,或更改使用的起始布置,则将我们的起始布置转换为目标布置所需的转数可以在0到3n ^ 2之间。

24 x 24 Truchet方形,可旋转4倍
对称性-从均匀的正方形开始,如何
重新创建它需要很多动作? 

为什么具有旋转对称性的Truchet平方看起来特别好?人类的大脑喜欢对称性,但是在Truchet正方形的情况下,似乎特别适合采用此类排列。单独的Truchet瓷砖缺乏旋转对称性-这种缺乏对称性是赋予它们表达力的原因。通过将它们排列成具有旋转对称性的正方形图案,我们克服了原始图块的不对称性,也许吸引了我们的需求 统一对立面或表达一种 辩证张力.

特鲁谢磁贴上的一些早期文章:
钓具
拖船瓷砖

2017年9月15日星期五

多项式除法计算器

这个博客的许多访问者来看有关使用网格方法对多项式进行除法的帖子(例如 这个 )。  A 前一阵子,我创建了一个页面,该页面生成了一些示例(希望)说明了此方法。

好吧,我很高兴地说 范例页面 增加了一个简单的功能 计算器,可让您提供自己的多项式进行除法。

这不是一个复杂的计算器-您提供的多项式必须采用扩展形式,并且必须是使用变量“ x”的单变量多项式-请不要花哨或棘手。

例如,您可能想尝试以下方法:
提供多项式后,点击 计算 按钮将触发解析器,让您知道任何错误。如果一切顺利,系统将提示您让计算器显示答案:

如果单击 显示答案 按钮,将显示答案和用于划分的网格。


最后,点击 显示其他步骤 按钮将引导您逐步了解如何填充网格以获得答案。

希望该页面对您有所帮助。请让我知道您在使用它时遇到的任何问题。

网格划分计算器: dmackinnon1.github.io/polygrid/calc.html

网格划分示例生成器: dmackinnon1.github.io/polygrid


2017年7月17日星期一

互动式chladni图页面

前阵子有 一些 帖子 关于使用R脚本生成Chladni Figures的信息。我认为这些脚本生成了一些非常漂亮的图像。但是,要多做一些实验,最好有一些互动的东西,所以我总结了一下 这一页,您可以用它制作如下图像。


为表面增加更多的振动,您可以获得一些非常复杂的外观图案:


如果您想尝试一下,请访问: //dmackinnon1.github.io/chladni/ (资源 这里 )。

更新资料

看到这个 有关使用Desmos绘制类似Chladni的人物的文章。

2017年4月29日,星期六

钓具

以来 以前的帖子,我一直在玩关于Truchet瓷砖的更多变化(使用 这一页)。您可以使用这些简单的磁贴创建各种吸引人的图案,令人印象深刻。

简陋的特鲁谢瓷砖

例如,使用此简单的基础图块,您可以创建类似路径的效果,甚至可以使路径看起来相互编织。下面的模式使用此效果来建议链接和结。

两个链接的Truchet模式(左)
和一个 三叶结 (right)

底砖的轻微变化会产生有趣的效果。这是一个使用传统Truchet基础砖的示例。


将黑暗的直角三角形鼓成四分之一圆,即使它由完全相同的图块放置组成,我们也可以创建看起来完全不同的东西。正方形被圆圈代替,V型被郁金香替代,我们最终得到了有机且密密麻麻的图案。


特鲁谢磁贴上的常见变化是Smith磁贴,该磁贴由相对角上的两个四分之一圆组成。与传统的Truchet不同,Smith基础砖具有180度的对称性,但是由于缺少90度的对称性,它仍然可以用于产生有趣且吸引人的图案(如果我们在四个角上都有四分之一圆,则构造的图案将始终是一样-一组圆形)。使用该图块,我们最终得到了在网格上创建路径和区域的圆形和破旧区域。


对Smith磁贴进行很小的更改就可以消除180度的对称性,并重新获得传统磁贴图案的表现力。例如,将一个四分之一圆替换为一个正方形意味着我们原始模式中的某些圆形变为正方形,一些仍为圆形,有些呈柠檬形,而整体模式保留了与Smith版本相同的拓扑。


另一个小的变化(使用对角线代替正方形)产生的图案在拳头上看起来完全不同:我们的路径现在类似于奇怪的拼图形状。仔细查看即可了解基本功能是如何保留的。


即使有所有可能的变化,原始的瓷砖仍保留其魅力。您可以在下面的模式中看到四个三叶草吗?


2017年3月26日星期日

拖船瓷砖

A 一会儿回来,我张贴了有关Froebelian幼儿园习作书中发现的图片的信息,例如 童年的天堂 (在Google图书上 这里 )。这些旧书提供了很好的图案和设计示例,可以很容易地用方格纸手工绘制,在许多情况下,仅使用一致的45-90三角形排列即可。


十九世纪Froebelian涂鸦

考虑到将每个正方形沿对角线切成两半的情况,可以形成令人惊讶的各种图案,其中正方形的一半是黑色,另一种是白色(即无空白或完全填充的正方形,在上面的图片中找到)。

四个Truchet瓷砖的一些布置

这些瓷砖的排列方式由 塞巴斯蒂安·特鲁谢,其有关该主题的书(沿对角线将颜色减半成两种颜色的无数不同设计的创建方法)可以在网上找到 这里 .


特鲁谢瓷砖, 众所周知,已经对其进行了广泛的研究和推广,以包括其他非旋转对称的瓦片集。在下图中,我们从传统的Truchet平铺开始,然后仅显示对角线,最后将对角线替换为四分之一圆,并以对角线曾经接触的顶点为中心(这些瓷砖,由Cyril Stanley Smith引入,创造了有趣的斑点状路径和圆圈的模式)。

特鲁谢磁贴上的三种流行变体:
传统,对角线和半圆


为了解决这些问题,我整理了一个“ Truchet Tiles”页面 这里 .

特鲁谢的文字中有许多插图值得一看,您可以使用上述页面进行复制。这里是Truchet的“ 38”:

平铺模式38来自 特鲁谢

这是使用Truchet拼贴页面的相同拼贴,也仅使用对角线和Smith拼贴进行渲染。
平铺图案38,生成 这里


关于磁贴的布置,有很多问题可以提出。 Truchet使用符号和插图列举了一些可能的布置-以下是他列出的图块的前两行表格(接下来的两张表中有几行?)。


这是Truchet 52号原始图案之一的另一幅渲染图:


并以类似方向的对角线和史密斯砖替换了传统的truchet砖- 您可能已经注意到,对于每个图块,这样做会使信息丢失2倍:


在这里试用Truchet磁贴页面: //dmackinnon1.github.io/truchet/.

更新:更加有趣 这个帖子.