2016年10月28日星期五

与弗洛贝尔一起涂鸦

也许是时候拔下电源,将图形计算器放在一边,放一些方格纸,然后拿起铅笔。但是该怎么办?的 空白页面的暴政 不仅困扰作家,而且困扰涂鸦者。

19世纪如何填充方格纸的灵感之源 Froebelian 幼儿园教科书。 Froebel提出了一种基于使用基本形式进行操作和创建的课程,以“礼物“是在学习的各个阶段提供给学生的。礼物是块,棍棒,纸正方形,绘图板和其他用于构建,编织,切割,折叠和绘制基本形式组合的对象。有些旧的教科书上有很好的礼物使用说明,例如,第七个礼物是“镶木地板”,很像许多教室里的图案块,这些插图为您在什么时候可以做什么提供了很好的启发。赠送一张空白的方格纸。

这些插图展示了可以用 45-90三角形, 来自 幼稚园指南:插图手册,专为幼稚园,母亲和护士的自我指导而设计 (1877年),作者:玛丽亚·克劳斯·布埃尔特(Maria Kraus-Boelte)(在Google图书上, 这里)。




下面的类似集合取自 童年的天堂:弗里德里希·弗洛贝尔(Friedrich Froebel)教育原则中的自我指导手册和幼稚园幼儿园者实用指南 (1869年),作者:爱德华·维伯(Edward Wiebe)(在Google图书上 这里)。




例如,从主题72/232开始,我找到了一种填充页面的方法。

基于图案72/232的图案

当然,不久之后,我就不得不使用一些动态几何软件重新创建它(普惠制):

当你进入 ,可能会想到许多关联和观察结果。我注意到这种模式的一件事是,间隙看起来像是您从 折纸风车基地 (almost a 帕哈里塔 or cocotte,一种流行的“欧洲”折纸模型)。当然,并不是所有出现在此时的事物都是合法的观察结果,经调查,我发现这些差距并不是很恰当 帕哈里塔:


Pajarita

但是,看到折纸鸟以这种模式飞来飞去似乎是适当的:第十八种Froebelian的礼物是折叠纸,用于研究可以从风车基地获得的图案:

折纸的一些Froebelian形式
风车基地(从 
折纸精神)

回到涂鸦,我尝试了使用相同基本图案的另一种变化:

基于另一种模式 
在图案72/232上


两种模式中的间隙具有相同的面积只是一个巧合吗?也许可以,但是基于该图案的任何图案都必须有最小的间隙,也许是三个正方形(需要更多的涂鸦)。

基于72/232的图案中的缺口具有
相同的总面积,也许

我现在必须搁置这一点,但是您应该开始。这是来自的更多面板 童年的天堂 可能会激发一些网格纸涂鸦:





2016年10月25日星期二

侧生动物的注意事项

创建广义的简单规则 侧边 会产生出乎意料的多样化路径轨迹,这些轨迹会找出一些熟悉而不太熟悉的形状,包括规则多边形,星形多边形,缠结,花环和无限长的弹簧。

一些侧边(图 这里)

在下面的公式中,a表示您在每一步上所经过的角度,m表示您在重复之前要计算的边的最大长度。如果m = 1,所有边都是长度1,如果m = 2,则边在长度1和长度2之间交替,对于m = 3,边的长度形成重复序列1、2、3、1、2 ,3 ...等
如果您转过的角度是2的有理倍数pi,然后是第一个侧边(m = 1)会描绘出规则多边形或规则星形多边形-它始终添加长度1,并且由于角度是2的倍数pi 您将结束循环并回到起点。
不同的故事,如果角度不是2的有理倍数pi:您将永远不会回到起点,并且经过足够的迭代后,第一个螺侧将看起来像是一个环面(下面是 a = 2,在左侧放大,在右侧缩小):

不能(很快)相遇的螺侧- 在这里画图

对于更高的值 m,尽管所描绘的形状差异很大,但它们总是 等角 (毕竟,我们总是以相同的角度转弯)。因此对于 m = 2我们最终得到 等角图形:每个顶点都是相同的-它始终具有相同的角度,并且在每一侧的长度始终为1和2。这是一些等角多边形-第一个是矩形,非常熟悉;第二, @solvemymaths 告诉我们,可能是 双三角.

以下是一些星形等角线:

那逐渐发展到无限的野兽呢?这些弹簧中的一组发生在 a = pi / k 对于一些正整数 k  和 m = 2k.


然后是纠结的星星...不确定从哪里开始。

尝试对这些奇怪的生物中的一些进行分类,让我想起博尔赫斯的 虚构之书.

2016年10月20日星期四

Desmos中更熟悉的螺旋形:螺旋体

之后 最后发表 关于如何使用Desmos绘制某些类型的螺旋,我在Twitter的Twitter微博中指出了螺旋和Desmos善良的宝库 @Veganmathbeagle and @GHSMaths。我还没有机会深入挖掘,但是期待它。

也, @Desmos 改善了 在一组螺旋上:“二次螺旋上的多边形数”族,显示了如何连接点和连接螺旋的点(改进的图形是 这里)。技术:将功能用于 xy 创建一系列参数定义的线段。在两点之间创建线段 AB,您可以引入一个参数 t 这使你从 ABt 范围从0到1,将此想法应用于图表上的成对点可让您连接离散点。
线段AB的参数公式

有了这个,我在列表中又添加了一组螺旋: 侧边.

螺旋体

遵循以下简单规则可以轻松地手工绘制螺侧线:绘制从1个单位长开始一直到 n 单位长,在每个线段之间旋转90度,然后从1开始重复该过程。

第一个螺侧边画出一个正方形:移动1个空间,旋转90度,移动1个空间,旋转90度,移动1个空间,旋转90度,...您就明白了。第二个螺旋形产生一个矩形:移动1个空间,旋转90度,移动2个空间,旋转90度,移动1个空间,旋转90度,移动2个空间,旋转90度...。也许不是那么着迷,但是第三个螺旋线提供了一个有趣的形状,包括4个旋转的矩形,而第五个螺旋线则像一个未卷曲的弹簧一样从页面上掉下来。

我从 益智宇宙 (在这里评论)。至少在我看来,这个定义看起来并不像用方程式容易表达的那样。当时我编写了一个处理程序来绘制它们:

一些螺距小m值

如果您年龄一定,这些可能会使您想起在LOGO(海龟图形)中绘制的内容。但是您可以在Desmos中做到吗?是的你可以。这是表达 n第一步 m第侧:


Desmos的侧生19 在这里画图

这是绘制螺侧线的有效方法吗?也许不是:在每个步骤中,您都有效地重新跟踪了螺旋的整个长度(总和就是这样)。但是我认为很酷的是,它完全可以做到。在这种情况下,您可能认为需要编程构造的内容(循环,一些临时变量)可以压缩为简单的方程式。这里的关键设备是 模数 函数(实际上是模加1),以确保您不断重复序列1至 m 当您绕过螺旋线时。

其他角度

我知道您想做什么:您想更改规则。好吧,可以尝试的方法是不要以90度角转弯,而不能以其他角度转弯:每个角度的选择都会产生一个新的侧枝。


基于60度转弯的螺侧(在这里画图)


基于144度角的螺侧(图 这里)

带有滑块的通用图形允许您使用角度进行游戏: 这里.

螺旋体很像 上一篇文章中提到的欧拉螺旋。从某种意义上说,它们几乎是它们的对偶-欧拉螺旋线每步保持相同的幅度,但保持每步旋转的角度增加,而螺侧体保持相同的角度,但不断增加每一步的幅度(直至限制,然后重复)。这是欧拉螺旋图的改进版本,这次有连接线。

欧拉螺旋(在这里画图)

2016年10月13日星期四

Desmos中一些熟悉的螺旋

我正在重新研究一些最喜欢的螺旋线,并在Desmos中绘制它们-对于下面的每个螺旋线,请尝试按照以下链接自己玩图。

从一个圆圈开始

绘制这些螺旋线(以及其他类似曲线的东西)的基本方法是从使用参数方程式定义的圆开始。 (在这里画图)


通过玩这个简单的方程式,通常只需调整 rt 值,我们可以产生许多螺旋。在许多情况下,我们将使点数成螺旋形,因此我们将替换 rt 与整数序列。

圆盘状螺旋

这些螺旋线很容易产生,并且是多年生的最爱(双关语:向日葵的联系)。我已经画了这些 hom摸/小叮当,加工,以及最近的 在R中 (its not 只要 对于统计,只是 大多)。如果您还没有在自己喜欢的图形编程环境中绘制这些图形,则应该这样做。

Desmos版本的动画效果很好-您可以增大和缩小螺旋线,并同时播放角度。

一些类似于花序轴的螺旋状(在这里画图)

要创建这些,请针对两个序列采用定义中提到的基本方程式



二次数螺旋
我首先看到在 numberspiral.com。二次螺旋也适合上述基本螺旋形式(此处为图片)/


它看起来不像是螺旋形,但是当您连接点时可以看到它。

普通ol'二次螺旋(在这里画图)

对于包含序列中的每个元素,此螺旋看起来都不那么有趣。但是我们可以在螺旋的顶部“绘制”另一个整数序列,可能会出现一些有趣的模式。


平方数螺旋上的素数
numberspiral.com 讨论了在数字螺旋上绘制质数时似乎会出现的有趣模式。您会得到与更著名的Ulam螺旋相似的效果-质数似乎沿着某些轨迹聚集并排列。您真正看到的是某些素数产生二次方,而不是通常适用于素数的一组模式。 (其他数字螺旋乐趣 这里)。

在Desmos中,您可以粘贴素数列表并将其很好地绘制在螺旋线上。我上升到201素数:

p = [2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89 ,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227 ,229、233、239、241、251、257、263、269、271、277、281、283、293、307、311、313、317、331、337、347、349、353、359、367、373 ,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523 ,541、547、557、563、569、571、577、587、593、599、601、607、613、617、619、631、641、643、647、653、659、661、673、677、683 ,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859 ,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997,1009,1013,1019,1021,1031,1033 ,1039、1049、1051、1061、1063、1069、1087、1091、1093、1097、1103、1109、1117、1123、1129、1151、1153、1163、1171、1181、1187、1193、1201、1213、1217 ,1223,1229]

我们将它们插入到我们现有的二次螺旋公式中。

并将此序列(蓝色)显示在整个二次螺旋(在这里画图)。


您能看到质数似乎对齐的那些有趣的点线吗?

二次数上的多边形数螺旋

如果可以在数字螺旋上绘制素数,为什么不选择其他序列呢?多边形是一个很好的序列系列。您听说过平方数(1、4、9,...)吗?嗯,有三角形,五边形,六边形和其他形状,这些序列中的每个数字都可以以特定的方式排列,以看起来像为该序列命名的多边形。这是真的。定义k多边形数的一种方法是:


上面的那几行就多边形给出了两个有趣的陈述。首先,可以将任何多边形分解为三角形(一个大 n大小的三角数,以及 k-3个较小的三角数)。其次,三角数对应于Pascal三角的第二列。两件整洁的东西。

前阵子我画了 二次螺旋上的各种多边形数。每种类型的多边形都有自己独特的螺旋形图案。在Desmos中重做它,我利用了组合功能来生成多边形,然后将它们绘制在数字螺旋上。为了连接这些点,我发现有必要将绘图转换为表格。这里我们有三角数(= 3):

三角数螺旋(在这里画图)

这仅仅是将多边形数公式与二次螺旋公式组成:

为选择不同的值 k 给您不同的多边形数和不同的螺旋线。对于 k = 12我们得到以下螺旋:
十二边形数螺旋(在这里画图)


阿基米德螺旋
如果这个职位有一个合理的顺序,那么阿基米德螺旋式增长本来应该可以排在榜首。

阿基米德螺旋(在这里画图)

如果您要尝试绘制这些图形,则可能需要尝试在“图形”中提到的阿基米德螺旋线的变化形式。 维基百科页面.

对数螺旋
在此页面上的所有螺旋中,最有可能出现在“纹身创意” pinterest板上的是对数螺旋。同样,它是基本公式的变体:

对数螺旋(在这里画图)


欧拉螺旋
让我们结束一些奇怪的事情。我们今天的最后一个螺旋将是一系列被称为欧拉螺旋的螺旋事物。描述这些螺旋的较早的文章是 这里.

就像“大脑和螺旋桨”的曲线 这个帖子,它们也基于圆的参数方程式,但与上面列出的曲线不同。在其他软件中,我使用递归公式来绘制它们。由于我不知道该怎么做(如果?),可以在Desmos中完成,因此需要一个非递归公式。对彼此而言 m d 正实数,我们为每个n定义x和y:


结果对选择的结果非常敏感 d, 并给他们一些野兽:

欧拉螺旋(在这里画图)

由于重叠的点,有些看上去像是一圈绳子:

欧拉线圈(在这里画图)


至于上面的多边形螺旋,要连接点,我发现必须为绘制的点选择一个特定的设定值,将它们转换为表格,然后将它们连接起来。

更新资料:从那以后,我就学会了如何连接Desmos中的点, 看到这篇文章的详细信息.