2016年12月23日星期五

骑士之旅的人生课程

请查看以下互动难题: kixote(骑士之旅)拼图hidato(国王之旅)拼图.

两者都基于在空白的木板上漫游的独立棋子的想法。如果一块恰好接触每个正方形一次,则“巡回”完成。

解决这些难题涉及 以正确的顺序显示隐藏的步骤以完成游览。例如,在下面的kixote拼图中,高亮显示了游览的第一步。


我们需要在这次旅行中找到第二步。根据骑士的移动方式,有两种选择:位于19右边的单元格和位于57左侧的单元格。查看第三步的位置(最后一列中的第三单元格向下),我们意识到该单元格19旁边的数字必须为2。单击该数字,我们将解锁游览的以下几个步骤:


现在,在第4步中,我们需要找到第5步,然后执行此操作,我们看一下第6步在哪里...并以这种方式继续进行,直到显示所有步骤为止。

如果您尝试几次,您可能会注意到,尽管每次巡回演出都不相同,但他们往往会在早期阶段遵循熟悉的循环在木板边缘循环的模式,有时在转弯处跳来跳去:



巡视之所以如此,是因为使用了用于生成它们的技术:拼图生成器不会随机选择要移动到哪个方块,如果这样做,可能需要很长时间才能找到合适的巡视以供您解决。生成器不是随机选择每个动作,而是使用试探法来选择最有可能导致完成巡回演出的方块。

对于骑士来说,空的棋盘看起来像这样:
骑士图

如果骑士可以从一个跳到另一个,则两个单元相连。一些单元比其他单元更好地连接。下图显示了每个小区的已连接邻居数量:


旅游生成器使用的规则是始终选择具有最少空闲邻居的可访问单元。这将我们引向边缘和角落,为末端留出了开放的,易于接近的中心。显然,这不是唯一可行的策略:每个骑士的巡回都是可逆的,因此从边缘和角落开始的每条路径都可以翻转以产生从中心开始的巡回。但是“从最少开放的单元格开始”是一种行之有效的策略,经常会产生完整的旅程。

也许这里有很多课程可供您参考:当面对要完成的事情时,首先从不太吸引人的选项开始,然后将最好的选项保存到最后。

2016年11月29日星期二

多项式网格除法示例

那里没有使用网格方法进行多项式除法的示例。为了解决这个问题,我发布了大约1000亿个示例,以供您欣赏。请检查‘em out: //dmackinnon1.github.io/polygrid/

撇开玩笑,我当时正在寻找一个小型JavaScript项目,而这个项目看起来很有趣。是的,我通过构建它学到了一些东西。的 会生成少量示例,但是您可以通过重新加载来获得新的批次。每个示例都是即时计算的,并使用 MathJax。当前,显示的计算如下:


大约有一半的示例剩余时间,并且计算的长度和复杂性没有特定顺序变化,因此,如果您获得了很多看起来过于令人生畏或过于简单的示例,请继续尝试,您应该多做一些喜欢。如果看到自己喜欢的一个,则应将其复制下来:您可能永远不会再看到它。

我计划使示例成为可配置的,并逐步显示计算的每个部分,但是我可能暂时不会这样做。

如果您对本页面有所了解,请让我知道,尤其是遇到任何麻烦时。 

有关如何执行网格方法的概述,也称为 通用矩形方法 或者 反向表格 方法,可以找到 这里这里。该页面当前未提供任何信息‘向后反向表格’计算,如上所述 这里.

更新资料:现在,该页面允许您选择是否需要余数,并且会尝试显示计算中的某些步骤。

2016年11月18日星期五

Desmos多边形数字图


多边形数字是休闲数学中最喜欢的主题,并且在此博客上有很多关于它们的文章(例如, 这里)。上面的图像暗示了它们的一些趣味:多边形(如上面显示的五边形)具有数值特性,可以很好地将它们转换为关联图中的视觉特性。

第一篇文章 该博客的指导说明了如何使用Fathom或Tinkerplots(两个动态数据环境;它们的后继者)生成多边形数图。 化学需氧量 似乎具有相同的功能),因此尝试在 演示版 似乎是个好主意。

前几个三角数字图

您可以玩 在这里画图。有了它,您可以选择 nk 将绘制的值(x, y)的值将形成一个 n-点 k-多边形图,有或没有连接线。

多边形的一些例子
数 图形

如果 点形成一个完整的图,这意味着 n 是一个 k-多边形数。因此,该图将绘制局部图。例如,您可以画一个有9个点的正方形,所以它是一个平方数,但您不能画一个有10个点的正方形,所以它不是平方数。您可以绘制具有15个点的六边形,所以它是六边形的,但是您不能用26来绘制。

15是六角形,26不是

要了解公式,或者自己提出公式,您需要了解如何形成多边形图的规则,这些规则基于添加点层(称为点)的想法。 地精)至上一个 k-多边形数以获取当前 k-多边形数。使用该图形,您可能可以找出规则:给定层的每个gnomon中将有多少个点; k value.

五角形12,侏儒
如右图所示


81是第六个七边形数字: 
上面有5个gnomon(每侧5个面) 
1的顶部使81


我选择绘制这些的方式是对于给定的数字 n,您可以确定它所在的gnomon层,沿着gnomon层的距离以及在gnomon的哪一侧。的gnomon层 n 告诉我们从哪里开始:我们只需要沿着由 k。如果我们知道它在层中的距离,我们知道在绘制点之前要移动多少点。最后,如果我们知道它在哪一边,我们就知道在此过程中要转多少圈。

因此,例如, y coordinate is this:


应用上面的解释,您可能会了解其工作原理:

内置的复杂度更高:找出我们所处的gnomon层的一种方法是使用公式来计算多边形数以及二次公式(可在 多边形数公式计算 section of the 图形)。

当我写了一些小程序来画多边形之前(例如 Fathom / Tinkerplots版本),我在很大程度上依赖条件语句(if / else)和迭代/递归(使用prev()函数)。对我来说,采用那些依赖于此类编程结构的东西并将其转换为像Desmos这样的极端面向功能的环境对我来说是一个挑战。揭示条件条件如何成为“真函数”(返回0或1)的乘积,以及如何用和代替迭代。

2016年10月28日星期五

与弗洛贝尔一起涂鸦

也许是时候拔下电源,将图形计算器放在一边,放一些方格纸,然后拿起铅笔。但是该怎么办?的 空白页面的暴政 不仅困扰作家,而且困扰涂鸦者。

19世纪如何填充方格纸的灵感之源 Froebelian 幼儿园教科书。 Froebel提出了一种基于使用基本形式进行操作和创建的课程,以“礼物“是在学习的各个阶段提供给学生的。礼物是块,棍棒,纸正方形,绘图板和其他用于构建,编织,切割,折叠和绘制基本形式组合的对象。有些旧的教科书上有很好的礼物使用说明,例如,第七个礼物是“镶木地板”,很像许多教室里的图案块,这些插图为您在什么时候可以做什么提供了很好的启发。赠送一张空白的方格纸。

这些插图展示了可以用 45-90三角形, 来自 幼稚园指南:插图手册,专为幼稚园,母亲和护士的自我指导而设计 (1877年),作者:玛丽亚·克劳斯·布埃尔特(Maria Kraus-Boelte)(在Google图书上, 这里)。




下面的类似集合取自 童年的天堂:弗里德里希·弗洛贝尔(Friedrich Froebel)教育原则中的自我指导手册和幼稚园幼儿园者实用指南 (1869年),作者:爱德华·维伯(Edward Wiebe)(在Google图书上 这里)。




例如,从主题72/232开始,我找到了一种填充页面的方法。

基于图案72/232的图案

当然,不久之后,我就不得不使用一些动态几何软件重新创建它(普惠制):

当你进入 ,可能会想到许多关联和观察结果。我注意到这种模式的一件事是,间隙看起来像是您从 折纸风车基地 (almost a 帕哈里塔 or cocotte,一种流行的“欧洲”折纸模型)。当然,并不是所有出现在此时的事物都是合法的观察结果,经调查,我发现这些差距并不是很恰当 帕哈里塔:


Pajarita

但是,看到折纸鸟以这种模式飞来飞去似乎是适当的:第十八种Froebelian的礼物是折叠纸,用于研究可以从风车基地获得的图案:

折纸的一些Froebelian形式
风车基地(从 
折纸精神)

回到涂鸦,我尝试了使用相同基本图案的另一种变化:

基于另一种模式 
在图案72/232上


两种模式中的间隙具有相同的面积只是一个巧合吗?也许可以,但是基于该图案的任何图案都必须有最小的间隙,也许是三个正方形(需要更多的涂鸦)。

基于72/232的图案中的缺口具有
相同的总面积,也许

我现在必须搁置这一点,但是您应该开始。这是来自的更多面板 童年的天堂 可能会激发一些网格纸涂鸦:





2016年10月25日星期二

侧生动物的注意事项

创建广义的简单规则 侧边 会产生出乎意料的多样化路径轨迹,这些轨迹会找出一些熟悉而不太熟悉的形状,包括规则多边形,星形多边形,缠结,花环和无限长的弹簧。

一些侧边(图 这里)

在下面的公式中,a表示您在每一步上所经过的角度,m表示您在重复之前要计算的边的最大长度。如果m = 1,所有边都是长度1,如果m = 2,则边在长度1和长度2之间交替,对于m = 3,边的长度形成重复序列1、2、3、1、2 ,3 ...等
如果您转过的角度是2的有理倍数pi,然后是第一个侧边(m = 1)会描绘出规则多边形或规则星形多边形-它始终添加长度1,并且由于角度是2的倍数pi 您将结束循环并回到起点。
不同的故事,如果角度不是2的有理倍数pi:您将永远不会回到起点,并且经过足够的迭代后,第一个螺侧将看起来像是一个环面(下面是 a = 2,在左侧放大,在右侧缩小):

不能(很快)相遇的螺侧- 在这里画图

对于更高的值 m,尽管所描绘的形状差异很大,但它们总是 等角 (毕竟,我们总是以相同的角度转弯)。因此对于 m = 2我们最终得到 等角图形:每个顶点都是相同的-它始终具有相同的角度,并且在每一侧的长度始终为1和2。这是一些等角多边形-第一个是矩形,非常熟悉;第二, @solvemymaths 告诉我们,可能是 双三角.

以下是一些星形等角线:

那逐渐发展到无限的野兽呢?这些弹簧中的一组发生在 a = pi / k 对于一些正整数 k  和 m = 2k.


然后是纠结的星星...不确定从哪里开始。

尝试对这些奇怪的生物中的一些进行分类,让我想起博尔赫斯的 虚构之书.

2016年10月20日星期四

Desmos中更熟悉的螺旋形:螺旋体

之后 最后发表 关于如何使用Desmos绘制某些类型的螺旋,我在Twitter的Twitter微博中指出了螺旋和Desmos善良的宝库 @Veganmathbeagle and @GHSMaths。我还没有机会深入挖掘,但是期待它。

也, @Desmos 改善了 在一组螺旋上:“二次螺旋上的多边形数”族,显示了如何连接点和连接螺旋的点(改进的图形是 这里)。技术:将功能用于 xy 创建一系列参数定义的线段。在两点之间创建线段 AB,您可以引入一个参数 t 这使你从 ABt 范围从0到1,将此想法应用于图表上的成对点可让您连接离散点。
线段AB的参数公式

有了这个,我在列表中又添加了一组螺旋: 侧边.

螺旋体

遵循以下简单规则可以轻松地手工绘制螺侧线:绘制从1个单位长开始一直到 n 单位长,在每个线段之间旋转90度,然后从1开始重复该过程。

第一个螺侧边画出一个正方形:移动1个空间,旋转90度,移动1个空间,旋转90度,移动1个空间,旋转90度,...您就明白了。第二个螺旋形产生一个矩形:移动1个空间,旋转90度,移动2个空间,旋转90度,移动1个空间,旋转90度,移动2个空间,旋转90度...。也许不是那么着迷,但是第三个螺旋线提供了一个有趣的形状,包括4个旋转的矩形,而第五个螺旋线则像一个未卷曲的弹簧一样从页面上掉下来。

我从 益智宇宙 (在这里评论)。至少在我看来,这个定义看起来并不像用方程式容易表达的那样。当时我编写了一个处理程序来绘制它们:

一些螺距小m值

如果您年龄一定,这些可能会使您想起在LOGO(海龟图形)中绘制的内容。但是您可以在Desmos中做到吗?是的你可以。这是表达 n第一步 m第侧:


Desmos的侧生19 在这里画图

这是绘制螺侧线的有效方法吗?也许不是:在每个步骤中,您都有效地重新跟踪了螺旋的整个长度(总和就是这样)。但是我认为很酷的是,它完全可以做到。在这种情况下,您可能认为需要编程构造的内容(循环,一些临时变量)可以压缩为简单的方程式。这里的关键设备是 模数 函数(实际上是模加1),以确保您不断重复序列1至 m 当您绕过螺旋线时。

其他角度

我知道您想做什么:您想更改规则。好吧,可以尝试的方法是不要以90度角转弯,而不能以其他角度转弯:每个角度的选择都会产生一个新的侧枝。


基于60度转弯的螺侧(在这里画图)


基于144度角的螺侧(图 这里)

带有滑块的通用图形允许您使用角度进行游戏: 这里.

螺旋体很像 上一篇文章中提到的欧拉螺旋。从某种意义上说,它们几乎是它们的对偶-欧拉螺旋线每步保持相同的幅度,但保持每步旋转的角度增加,而螺侧体保持相同的角度,但不断增加每一步的幅度(直至限制,然后重复)。这是欧拉螺旋图的改进版本,这次有连接线。

欧拉螺旋(在这里画图)

2016年10月13日星期四

Desmos中一些熟悉的螺旋

我正在重新研究一些最喜欢的螺旋线,并在Desmos中绘制它们-对于下面的每个螺旋线,请尝试按照以下链接自己玩图。

从一个圆圈开始

绘制这些螺旋线(以及其他类似曲线的东西)的基本方法是从使用参数方程式定义的圆开始。 (在这里画图)


通过玩这个简单的方程式,通常只需调整 rt 值,我们可以产生许多螺旋。在许多情况下,我们将使点数成螺旋形,因此我们将替换 rt 与整数序列。

圆盘状螺旋

这些螺旋线很容易产生,并且是多年生的最爱(双关语:向日葵的联系)。我已经画了这些 hom摸/小叮当,加工,以及最近的 在R中 (its not 只要 对于统计,只是 大多)。如果您还没有在自己喜欢的图形编程环境中绘制这些图形,则应该这样做。

Desmos版本的动画效果很好-您可以增大和缩小螺旋线,并同时播放角度。

一些类似于花序轴的螺旋状(在这里画图)

要创建这些,请针对两个序列采用定义中提到的基本方程式



二次数螺旋
我首先看到在 数spiral.com。二次螺旋也适合上述基本螺旋形式(此处为图片)/


它看起来不像是螺旋形,但是当您连接点时可以看到它。

普通ol'二次螺旋(在这里画图)

对于包含序列中的每个元素,此螺旋看起来都不那么有趣。但是我们可以在螺旋的顶部“绘制”另一个整数序列,可能会出现一些有趣的模式。


平方数螺旋上的素数
数spiral.com 讨论了在数字螺旋上绘制质数时似乎会出现的有趣模式。您会得到与更著名的Ulam螺旋相似的效果-质数似乎沿着某些轨迹聚集并排列。您真正看到的是某些素数产生二次方,而不是通常适用于素数的一组模式。 (其他数字螺旋乐趣 这里)。

在Desmos中,您可以粘贴素数列表并将其很好地绘制在螺旋线上。我上升到201素数:

p = [2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89 ,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227 ,229、233、239、241、251、257、263、269、271、277、281、283、293、307、311、313、317、331、337、347、349、353、359、367、373 ,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523 ,541、547、557、563、569、571、577、587、593、599、601、607、613、617、619、631、641、643、647、653、659、661、673、677、683 ,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859 ,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997,1009,1013,1019,1021,1031,1033 ,1039、1049、1051、1061、1063、1069、1087、1091、1093、1097、1103、1109、1117、1123、1129、1151、1153、1163、1171、1181、1187、1193、1201、1213、1217 ,1223,1229]

我们将它们插入到我们现有的二次螺旋公式中。

并将此序列(蓝色)显示在整个二次螺旋(在这里画图)。


您能看到质数似乎对齐的那些有趣的点线吗?

二次数上的多边形数螺旋

如果可以在数字螺旋上绘制素数,为什么不选择其他序列呢?多边形是一个很好的序列系列。您听说过平方数(1、4、9,...)吗?嗯,有三角形,五边形,六边形和其他形状,这些序列中的每个数字都可以以特定的方式排列,以看起来像为该序列命名的多边形。这是真的。定义k多边形数的一种方法是:


上面的那几行就多边形给出了两个有趣的陈述。首先,可以将任何多边形分解为三角形(一个大 n大小的三角数,以及 k-3个较小的三角数)。其次,三角数对应于Pascal三角的第二列。两件整洁的东西。

前阵子我画了 二次螺旋上的各种多边形数。每种类型的多边形都有自己独特的螺旋形图案。在Desmos中重做它,我利用了组合功能来生成多边形,然后将它们绘制在数字螺旋上。为了连接这些点,我发现有必要将绘图转换为表格。这里我们有三角数(= 3):

三角数螺旋(在这里画图)

这仅仅是将多边形数公式与二次螺旋公式组成:

为选择不同的值 k 给您不同的多边形数和不同的螺旋线。对于 k = 12我们得到以下螺旋:
十二边形数螺旋(在这里画图)


阿基米德螺旋
如果这个职位有一个合理的顺序,那么阿基米德螺旋式增长本来应该可以排在榜首。

阿基米德螺旋(在这里画图)

如果您要尝试绘制这些图形,则可能需要尝试在“图形”中提到的阿基米德螺旋线的变化形式。 维基百科页面.

对数螺旋
在此页面上的所有螺旋中,最有可能出现在“纹身创意” pinterest板上的是对数螺旋。同样,它是基本公式的变体:

对数螺旋(在这里画图)


欧拉螺旋
让我们结束一些奇怪的事情。我们今天的最后一个螺旋将是一系列被称为欧拉螺旋的螺旋事物。描述这些螺旋的较早的文章是 这里.

就像“大脑和螺旋桨”的曲线 这个帖子,它们也基于圆的参数方程式,但与上面列出的曲线不同。在其他软件中,我使用递归公式来绘制它们。由于我不知道该怎么做(如果?),可以在Desmos中完成,因此需要一个非递归公式。对彼此而言 m d 正实数,我们为每个n定义x和y:


结果对选择的结果非常敏感 d, 并给他们一些野兽:

欧拉螺旋(在这里画图)

由于重叠的点,有些看上去像是一圈绳子:

欧拉线圈(在这里画图)


至于上面的多边形螺旋,要连接点,我发现必须为绘制的点选择一个特定的设定值,将它们转换为表格,然后将它们连接起来。

更新资料:从那以后,我就学会了如何连接Desmos中的点, 看到这篇文章的详细信息.