2015年7月20日星期一

常规多边形,环

看着开普勒五角形平铺,你可能会注意到脱衣架周围的五角星的漂亮戒指。


你也可以用这些吊环的五角星戒指组成其他绳子 - 让你下面工作你必须潜入一些 凹陷 or 重叠 pentagons.


但是哪个常规 n - 可以形成这样的戒指吗?你显然不能用广场做到这一点。


和一些常规 n - 像Heptagons,undagons,脱衣肉和Hendecagons(11-GONS)也不工作。


所有的常规角度 n - 是(n-2)PI./n  - 所以中心的多边形角度必须是4PI./n,但对于那个内部多边形是普通多边形本身,必须有一些 k 角度也在哪个角度(k-2)PI./k。等同于这两个值并解决 k gives k = 2n/( n-4)。如果我们寻找 n 给出整数值 k,然后我们有 n - 可以形成这种环的贡献。


这告诉我们只有五角大楼,六角形,八角形和十二年杖可以形成另一个常规的环 n - 或分别是常规的十字形,六角形,四边形和三角形)。巧合,这些是相同的多边形,如上所述,可以形成凹陷的风车 这里.

但如果我们在形成环的同时跳过另一个边缘(如此2跳过),该怎么办?我们最终获得了一个明星而不是中心的多边形,而最小的常规多边形这是eptagon:


有一点工作,你可能会相信这将适用于 n 给出整数值 k = 2n/( n-6),事实证明那些 n 值对应于常规eptagon,八角形,诺亚台,超老年,十二陀螺和 十八天角(18-gon)。



与第一种戒指一样,Hendecagon失败:


但是,在形成多边形的环时,我们可以进一步进一步,并跳过另一个边缘(3)。中心不再是明星,但是 一个颠簸的齿轮状多边形,以及可以做到这一点的最小普通多边形是非阿拉塔:


其他多边形可以形成这种第三种戒指,其中跳过3个边缘?我们的功能现在 k = 2n/( n-8),我们获得整数值 n = 9,10,12,16和24。


我们的 hendecagons 跳过3个边缘时仍然不会形成戒指,但是一旦我们开始跳过4。


如果我们跳过 将圆环放在一起时,我们可以找到常规的数量n - 使用公式形成戒指的贡献 k = 2n/( n-2(m+1)),只会在闭环时 k 带有整数值。

从这种关系来看,我们可以了解一些关于这些戒指的东西。例如,对于任何奇数 n, 在哪里 n 是5个或更多,我们可以通过跳跃形成一个环(n-3)/ 2边缘并有一个环2n:对于普通的Pentagons,我们跳过1个边缘并获得一个环10,对于我们跳过2个边缘并获得14张戒指,并且对于普通的Hendecagons,我们跳过4个边缘来获得22个戒指。另一个观察:另一个观察定位12允许十二块形成3,4,6或12的环。

在玩常规骨干的同时,我带来了这一点,乐趣地制作戒指(和戒指的环),如下所示。