圆环中的规则多边形

查看开普勒五边形拼贴，您可能会注意到十边形周围的五边形环看起来很漂亮。

您也可以用这些五边形环组成其他平铺-要使下面的五边形正常工作，您必须先潜入一些 凹陷的 or 重叠 pentagons.

但是哪个常规 n-gon可以形成这样的环吗？您显然不能用正方形做到这一点。

还有一些常规 n像七边形，九边形，十边形和六边形（11边形）一样的-边形也不起作用。

所有角度 n-gon are（n-2)pi/n -因此多边形在中心的角度必须为4pi/n，但要使内部多边形本身成为规则的多边形，就必须有一些 k 角度也是k-2)pi/k。将这两个值相等并求解 k gives k = 2n/（ n-4）。如果我们寻找 n 给出整数值 k，那么我们有 n可以形成这种环的-gons。

告诉我们，只有五边形，六边形，八边形和十二边形可以在另一个正则周围形成环 n-gon（分别为正十边形，六边形，四边形和三角形）。巧合的是，这些是相同的多边形，可以形成凹陷的风车，如前所述 这里.

但是，如果我们在形成环时跳过另一条边（所以跳过了2条）怎么办？我们最终得到一个星形而不是中心的多边形，这个最小的正多边形是七边形：

通过一点点工作，您可能会相信这会为 n 给出整数值 k = 2n/（ n-6），结果证明那些 n 值对应于正七边形，八边形，九边形，十边形，十二边形和 八边形（18-gon）。

与第一种环一样，十边形也会失效：

但是我们可以走得更远，在形成多边形环时跳过另一个边缘（现在为3）。中心不再是星星，而是 一个凹凸不平的齿轮状多边形，而能做到这一点的最小的正则多边形是九边形：

还有哪些其他多边形可以形成跳过3条边的第三种环？现在我们的职能是 k = 2n/（ n-8），我们得到 n = 9、10、12、16和24。

我们的 hendecagons 跳过3条边线时仍然不会形成环，但是一旦我们开始跳过4条边线就不会形成环。

如果我们跳过 m 将戒指放在一起时的边缘，我们可以找到常规数量n-将使用公式形成环的多边形 k = 2n/（ n-2(m+1）），并且只有在 k 具有整数值。

从这种关系中，我们可以找到有关这些环的一些信息。例如，对于任何奇数 n，在哪里 n 是5或更大，我们可以跳过（n-3）/ 2条边并具有2的环n：对于常规五边形，我们跳过1个边并获得10的圆环，对于七边形，我们跳过2个边并获得14的圆环，对于常规六边形，我们跳过4个边缘以得到22的圆环。另一观察：显着可分解系数12使十二边形形成3、4、6或12的环。

在玩普通的七边形游戏时，我被引向了这一点，他很喜欢像下面那样制作戒指（和戒指的戒指）。

规则多边形，规则相交

浏览真正引人入胜的书中有关数字5的章节 一位数：以小数称赞，由马克·钱伯兰（Marc Chamberland）拍摄，我看到了开普勒（Kepler）五角形瓷砖的图像和描述，如下所示：

开普勒五角形瓷砖

该瓦片由五边形，五角星形，十边形和熔融十边形制成。十边形和熔融十边形均可由规则五边形和 dented pentagons （通过否认，我的意思是用描述的方式 这里），因此也可以使用五边形，凹陷的五边形和五角星形制作图块。

十进制和熔融十进制
五边形和凹形五边形 

我想尝试制作仅由五边形，凹进的五边形及其互补的菱形组成的类似拼贴，并发现：

另一个五角形瓷砖

起初看起来不错-除了这些融合的十进制与开普勒不同外-它们具有更大的重叠度，不能用五边形和凹陷的五边形制成。

遇到这两种融合的十边形时，我想知道您可以通过多种方式将两个十边形或其他规则多边形相交。

规则相交的五边形与九边形

为了“有规律地”重叠，两者 n-gon必须在其顶点上对齐。这意味着重叠区域也将是等边的多边形，其边数将为偶数（每个原始边的一半 n-gons），并且除了两个角度外，其他所有角度都等于（ n-2)pi/n，因为除了两个角度外，所有角度都是与原始法线的角度 n-gons。

由于重叠区域的边/顶点不能少于四个，并且因为它只能是边/顶点数为偶数的多边形，所以 n-gon将具有[（n-4）/ 2]定期与自身相交的方式（其中方括号是“天花板”功能，它告诉您四舍五入任何小数位）。因此，有[（10-4）/ 2] = 3个正十边形的漂亮融合。

3个融合十进制