2015年7月20日,星期一

圆环中的规则多边形

查看开普勒五边形拼贴,您可能会注意到十边形周围的五边形环看起来很漂亮。


您也可以用这些五边形环组成其他平铺-要使下面的五边形正常工作,您必须先潜入一些 凹陷的 or 重叠 pentagons.


但是哪个常规 n-gon可以形成这样的环吗?您显然不能用正方形做到这一点。


还有一些常规 n像七边形,九边形,十边形和六边形(11边形)一样的-边形也不起作用。


所有角度 n-gon are(n-2)pi/n -因此多边形在中心的角度必须为4pi/n,但要使内部多边形本身成为规则的多边形,就必须有一些 k 角度也是k-2)pi/k。将这两个值相等并求解 k gives k = 2n/( n-4)。如果我们寻找 n 给出整数值 k,那么我们有 n可以形成这种环的-gons。


告诉我们,只有五边形,六边形,八边形和十二边形可以在另一个正则周围形成环 n-gon(分别为正十边形,六边形,四边形和三角形)。巧合的是,这些是相同的多边形,可以形成凹陷的风车,如前所述 这里.

但是,如果我们在形成环时跳过另一条边(所以跳过了2条)怎么办?我们最终得到一个星形而不是中心的多边形,这个最小的正多边形是七边形:


通过一点点工作,您可能会相信这会为 n 给出整数值 k = 2n/( n-6),结果证明那些 n 值对应于正七边形,八边形,九边形,十边形,十二边形和 八边形(18-gon)。



与第一种环一样,十边形也会失效:


但是我们可以走得更远,在形成多边形环时跳过另一个边缘(现在为3)。中心不再是星星,而是 一个凹凸不平的齿轮状多边形,而能做到这一点的最小的正则多边形是九边形:


还有哪些其他多边形可以形成跳过3条边的第三种环?现在我们的职能是 k = 2n/( n-8),我们得到 n = 9、10、12、16和24。


我们的 hendecagons 跳过3条边线时仍然不会形成环,但是一旦我们开始跳过4条边线就不会形成环。


如果我们跳过 将戒指放在一起时的边缘,我们可以找到常规数量n-将使用公式形成环的多边形 k = 2n/( n-2(m+1)),并且只有在 k 具有整数值。

从这种关系中,我们可以找到有关这些环的一些信息。例如,对于任何奇数 n,在哪里 n 是5或更大,我们可以跳过(n-3)/ 2条边并具有2的环n:对于常规五边形,我们跳过1个边并获得10的圆环,对于七边形,我们跳过2个边并获得14的圆环,对于常规六边形,我们跳过4个边缘以得到22的圆环。另一观察:显着可分解系数12使十二边形形成3、4、6或12的环。

在玩普通的七边形游戏时,我被引向了这一点,他很喜欢像下面那样制作戒指(和戒指的戒指)。



2015年7月3日,星期五

规则多边形,规则相交

浏览真正引人入胜的书中有关数字5的章节 一位数:以小数称赞,由马克·钱伯兰(Marc Chamberland)拍摄,我看到了开普勒(Kepler)五角形瓷砖的图像和描述,如下所示:

开普勒五角形瓷砖

该瓦片由五边形,五角星形,十边形和熔融十边形制成。十边形和熔融十边形均可由规则五边形和 dented pentagons (通过否认,我的意思是用描述的方式 这里),因此也可以使用五边形,凹陷的五边形和五角星形制作图块。

十进制和熔融十进制
五边形和凹形五边形 

我想尝试制作仅由五边形,凹进的五边形及其互补的菱形组成的类似拼贴,并发现:

另一个五角形瓷砖

起初看起来不错-除了这些融合的十进制与开普勒不同外-它们具有更大的重叠度,不能用五边形和凹陷的五边形制成。

遇到这两种融合的十边形时,我想知道您可以通过多种方式将两个十边形或其他规则多边形相交。

规则相交的五边形与九边形

为了“有规律地”重叠,两者 n-gon必须在其顶点上对齐。这意味着重叠区域也将是等边的多边形,其边数将为偶数(每个原始边的一半 n-gons),并且除了两个角度外,其他所有角度都等于( n-2)pi/n,因为除了两个角度外,所有角度都是与原始法线的角度 n-gons。

由于重叠区域的边/顶点不能少于四个,并且因为它只能是边/顶点数为偶数的多边形,所以 n-gon将具有[(n-4)/ 2]定期与自身相交的方式(其中方括号是“天花板”功能,它告诉您四舍五入任何小数位)。因此,有[(10-4)/ 2] = 3个正十边形的漂亮融合。

3个融合十进制