2013年4月3日,星期三

框架和八面体

前几天,我看着圆点的浴帘,开始玩点点滴滴的游戏。我正在查看像下面这样的点的“框架”,并计算仅使用每个框架上的点作为顶点即可得出的平方。

因此,考虑 n 经过  n 正方形网格,每个顶点处都有点,并且在 perimeter 对于这样的网格,通过在网格的周长上连接4个点可以绘制多少个正方形,并且所有正方形的总面积是多少?如果您想自己做,请不要进一步阅读。


计算平方非常简单-对于具有边长的网格 n 将有 n 方块。有完整的 n 经过 n 通过连接网格的顶点而形成的正方形,然后是一系列较小的旋转正方形,每个正方形的底都通过连接 i沿底部的第(n-i)沿左侧的第一个点(将左下角视为原点(0,0),并向右向上计数)。

这些正方形的面积也很容易计算,这要归功于正方形和倾斜的框架所形成的直角三角形。


如果将给定n的面积相加,然后查看得到的序列-您会发现这些给定了 八面体 numbers (OEIS A005900)。一个不错的 surprise (至少对我来说)。八面体是有形的数字,就像多边形一样,但是在这种情况下是三维的:两个 方形锥体 numbers (OES A000330)粘在一起形成八面体。

在娱乐数学中,数字一直以来都是最受欢迎的主题(此博客上有几篇关于它们的文章,例如 这个),有时它们会在您不期望它们出现时出现。

具象数字的几何方面有时使您可以使用图片很好地表达数值关系。我不认为下面的图片(该图片显示了 n = 3例),完全符合“没有言语的证明”,但我认为这有助于说明当您“在框上绘制正方形”时为什么会弹出八面体数字。