2012年8月16日,星期四

深入了解乘法表

当我还很小的时候,我被告知:“没有人会记住五年级,而不会记住 multiplication 桌子!”尽管有老师的严厉预言,我还是带着恐惧和恐惧过去了,甚至在不学习桌子的情况下进步了一点。

曾经是我的敌人,现在是我的朋友,那些曾经阻碍我的教育发展的旧桌子现在对我似乎充满了兴趣和美丽。

1.桌子上的彩虹

表格中的数字如何增加?当然有,它是双曲线的。如果根据表的数量为其上色,则可能会注意到几乎以彩虹色的方式弯曲的色带。看到 这里 对此有更多的了解。


2.桌子上的星星

当您跳过行或列时,数字的最后几位是否形成图案?您知道它们确实可以,但是在圆上画出图案会显示出您以前可能没有注意到的倍数之间的相似性。从围绕一个圆的10点开始,然后跳过一个数字,然后将最后一个数字连起来。这是数字6发生的情况:


有时不同的数字会赋予相同的星星,但它们以不同的顺序排列-也许您可以找出原因。

有关更多信息,请参见 这里.

3.数字多久出现一次?

给定数字在一定大小的乘法表中出现多少次?质数多久出现一次?复合材料多久一次?什么号码最常出现?

毫不奇怪,一个数字在乘法表中出现的次数取决于将两个数字相乘得到该数字的方式。因此,素数只会出现两次(在表格的顶部和左侧)。

在探索这些问题时,您可能会发现,如果仅使用稍有不同的方法,答案就会好得多。 multiplication 表。无论如何,这就是我发现的东西,它引导我去看一个 扩展乘法表。这些都是很难写出来的(如果可以的话,请使用计算机),但是有很多不错的属性。

下图是扩展的12表(包含标准3x3表)的图片。写出这些规则是通过跳过最多一个给定数字(在本例中为12)来进行每一行的写法。


在上面扩展的12表中,每个小于12的质数正好出现两次,而每个小于12的复合数出现的次数与它具有的因子数量直接相关。实际上,每个数字出现的次数等于其因子格的大小。例如,数字12出现6次-这是其因子格的图片,其大小为6:
有关因子格的更多信息,请参见 这里这个帖子 给出有关这些晶格如何连接到扩展乘法表的一些信息。

3.表格中数字的平均值是多少?

当教室墙上挂着大量数字时,为什么还要出去收集数据来进行“数据管理”活动?乘法表中所有数字的平均值是多少?

将它们相加并除以表中的数字-但不要着急。该表的结构使它变得很容易。考虑一个 n x n 乘法 table. If you add up a single row, it would look like this:

也可以这样写:
而且所有行都是这样,因此,如果您一次确定前n个数字的总和,然后重新使用它,它将使其更快。

如果找到表格的均值,您会注意到表格中所有数字的平均值等于表格确切中心的一个或多个数字的平均值。换句话说,平均值也是中间值的平均值。如果您使用奇数表示 n 表格的平均值等于中间的单个数字(如果要快速进行操作,请尝试使用3x3表格)。如果为n选择一个偶数(如通常的10或12),则中间没有数字,您需要取四个中间数字的平均值。

如果您喜欢用和计算,找出平均值的公式,并使其与中位数或四个中位数的平均值相同,是一项有趣的练习。这是平均值计算的一种推导:

5.将表中的数字相加会导致其他意外

一旦开始在表中添加条目,您可能会遇到其他意外情况。

例如,主向上对角线中的项和其上方对角线的总和等于主向下对角线中的项的总和。一些关于这个 这里.


可能没有引起注意的另一件事是,如果仅对上面的数字(包括向上倾斜的对角线)求和,则会得到一种特殊的数字,称为“ triangulo-triangular”数字(请参见 这里)。


6.跳过依靠太阳花

离开教室,考虑跳过计数,在草地上的向日葵中寻找图案。是的,也许不是,但是在理想化的数学向日葵中,您可能会注意到一些不错的模式-在这里,以5的倍数排列的“种子”以编号的叶序螺旋着色:

看到更多关于这个 这里.