2011年11月20日,星期日

gsp中的更多窗口模式

您说对了,“嘿,这些只是一堆重叠的正方形。”是。我唯一要指出的是,它们是通过遵循一条规则而制成的,该规则是一种易于复制的方法,而无需使用任何外部测量设备(例如标尺或量角器),只需正方形即可。想想折纸:您可以通过折叠等方法找到中点。在这种情况下,将使用GSP,但仅使用简单的构造(例如中点查找和分段创建)。
诀窍是找到一条规则,该规则允许您从双色球基本走势图图表新浪爱彩正方形开始,然后构造两个点,您可以将另双色球基本走势图图表新浪爱彩正方形作为基础,然后重复。


这些是根据提到的相同的窗口模式说明制作的 这里.

2011年11月11日,星期五

A4窗花和特殊三角形

A 不久前 我提到过A4纸的比例很好-它是双色球基本走势图图表新浪爱彩银色矩形,这意味着它的长边与短边之比为sqrt(2)。由于它们的比例不错,因此可以使用银色矩形来构造 特殊三角形 我们从三角学中知道和喜欢。

注意这些三角形中的角度的一种好方法是形成 窗户图案 based on 它们-这些形状是由按照规则旋转的重叠纸片制成的。术语窗口模式来自 威廉·吉布斯 -之所以命名,是因为如果将它们放在窗口中,则穿过不同纸张层的光线会显示出其他图案和形状。

这是特殊三角形窗口模式过程的双色球基本走势图图表新浪爱彩示例。从A4或类似比例的矩形开始,找到较短边之一的中点(例如,通过折叠纸张)。

现在再取双色球基本走势图图表新浪爱彩矩形 相同的大小,然后放置它,以使双色球基本走势图图表新浪爱彩顶点与绘制的中点对齐,而另双色球基本走势图图表新浪爱彩顶点沿着第二个矩形的同一短边接触第双色球基本走势图图表新浪爱彩矩形的长边。在图片中更容易看到:
通过这样做,您构造了sqrt(3)/ 2的棘手长度,并构建了30-60-90(pi / 6,pi / 3,pi / 2)三角形。您可以通过重复该过程并在6张纸(360/6 = 60)之后发现“满圆”来确认已形成60度三角形的角度。
如果稍微更改第双色球基本走势图图表新浪爱彩放置位置,以便第二个矩形大部分位于第双色球基本走势图图表新浪爱彩矩形的内部,则该图案将位于帖子的顶部。

这些是不错的模式,但是它们实际上并没有使用A4的特殊属性(您可以用方纸或信纸做类似的事情)。将双色球基本走势图图表新浪爱彩矩形放置在另双色球基本走势图图表新浪爱彩矩形上稍微复杂一点,则可以创建双色球基本走势图图表新浪爱彩直角三角形,其一条腿等于1,另一条腿等于sqrt(2)-1。这不是您的“标准”特殊三角形之一,但是它的特殊之处在于,它允许您计算某些角度的精确值(在完成图案后,我们会找出哪些角度)。

这是构造此三角形的布局的外观。恐怕这篇文章的文字说明对于这篇文章来说太过分了-也许您可以从图中找出如何完成:)。

如果继续放置矩形,您会发现需要16个矩形才能重新开始,这表明我们的三角形包含pi / 8或22.5度的角度-其他为pi / 2(90)和3pi / 8(67.5)。

所以..例如,我们新的特殊三角形告诉我们tan(pi / 8)等于sqrt(2)-1(我们还能得到什么其他确切值?)。

动画迭代-太有趣了

这篇文章没有太多-只是玩我的GSP草图 指向前面。这些只是迭代,再加上动画,再加上跟踪,我认为这是一些不错的结果。

下面的“彩色毕达哥拉斯树”分形是我几年前在GSP研讨会上学到的经典作品,它基于免费手册中的项目之一 普惠制的101个项目构想。我确定整个地方都有一些说明。 [更新:请参阅 11月15日的博文时代的正弦 有关基本树的一些说明。]


下图是该文章顶部的下双色球基本走势图图表新浪爱彩阶段-由五边形和曲线组成的迭代 -下图显示了此迭代的第一代外观。




2011年11月5日,星期六

一些gsp分形草图

我找到了双色球基本走势图图表新浪爱彩旧的GSP文件,其中包含一堆几何形的分形-我以为其中一些看起来不错,所以我将其张贴在这里。如果您想尝试一下,可以获取GSP文件 这里 -在大多数情况下,它们涉及“迭代”功能的相当标准的使用。


以随机方式对它们进行动画处理会生成一些看起来很奇怪的形式-产生上方五边形分形的同一草图也会产生下方的形状。


相同的草图在帖子的顶部给出了类似雪花的图案,使海绵看起来很奇怪:


2011年11月2日,星期三

蝴蝶, bus transfers, cotangents



因为我的习惯是在使用公共场所时进行折纸
交通,人 
有时转过头怜悯
盯着我但是因为我坚强 
浓度
在这些时候,他们的容貌不会打扰我。

-哈加和夫 原产地

我最常折叠的折纸模型是 尼克·罗宾逊的A4蝴蝶。你可以在尼克的书中找到这个模型 折纸圣经 (不幸的是,我不认为这些说明会发布在他的网站上)。在北美, A4纸 并不是很容易获得,但是幸运的是,我每个工作日早上都以公交车的形式递了几张几乎与A4相同的纸张。

与A4纸张比例相同的矩形具有良好的几何特性-它们是 银色矩形 (与金色矩形相反的名称),而这些银色矩形的优美之处在于长边与短边之比为 sqrt(2)。如果您没有适当比例的公交车接送,或者想制作自己的A4风格的银色矩形,尼克罗布森(Nick Robson)提供了一些有用的说明 这里.

确实,对于蝴蝶模型,您不需要完美的银色矩形-这是相当宽容的,并且对于公交车接送,票根和杂志订阅插入效果很好(例如,金色矩形也可以)。但是,如果查看简化的折痕图案,则可以看到,如果长边与短边的比率太小或太大,则模型会完全崩溃。为了使事情更精确,如果长边与短边之比完全不起作用, r,方法 r = tan(pi/ 4)= 1(低端),或 r = tan(pi/ 8)〜= 2.414高端。 
这些比率保持不变的原因是,形成机翼外缘的折痕具有双色球基本走势图图表新浪爱彩 pi/ 4与纸张的中线对齐,而形成机翼内边缘的折痕为 pi/ 8。如果这些线中的任何一条碰到矩形的角,则该模型将不再起作用。这就是为什么长边与短边之比(或 触发比率,与对面相邻)以 tan 这些角度。

尝试用几乎方形的纸制成的蝴蝶的身体很大,几乎没有翅膀,而用长纸制成的蝴蝶的翅膀却太长,身体很小。尽管该模型似乎可以在纸张范围内强制使用明确定义的边界,但寻找产生最佳蝶形的纸张尺寸是另双色球基本走势图图表新浪爱彩问题。是银矩形 butterflies 最好的,金色的,或者 r = tan(3pi/ 16)?这可能是个人折纸美学而非数学的问题。

2011年10月20日,星期四

丁丁-微积分

有较大的打印版本 这里 -我建议您只打印前4页。

2011年10月5日,星期三

一年级功能


功能概念有时在学校数学中普遍存在 -尽管直到中学才正式引入它,但许多小学数学数学活动可以被认为是为理解和使用函数铺平了道路。

但是,很少有学生或教师将他们最终在高中学习(或教授)的功能与早期小学活动中隐性遇到的功能联系起来。

例如,经常要求一年级(和幼儿园)学生的符号模式,如下所示:

给定这种模式,通常会要求学生描述模式,继续进行模式,或识别其“核心模式”或核心-模式中的重复单元。


这样的模式与功能有什么关系?还是我们如何使用函数为这种模式建模?

可以将任何符号序列视为从自然数N到一组符号S的函数。您可以通过简单地用N标记模式来显示此映射。


因此,通常可以将模式视为 f that associates a symbol 每个自然数。很好,但是如何表示决定哪些符号出现在何处的“规则”呢?一种方法是返回到核心模式的想法,该想法提醒我们我们的模式是周期性的。在此示例中,它是双色球基本走势图图表新浪爱彩4周期,您可以将其可视化为四个顶点之间的某种循环,或者可视为具有4个位置的时钟:

双色球基本走势图图表新浪爱彩很好的函数(有时在学校数学中引入)可以将自然数映射到这种结构上 模k 操作。在这种情况下,我们需要“模4”:任何自然 n, n 模4返回余数 n 除以4,该数字始终是数字0、1、2或3之一。模块化算术有时称为“时钟” 算术”,因为它是循环的,函数“取模4”可以可视化为将数字线绕在时钟上并带有4个位置的数字。 h 是根据以下规则将N映射到集合K = {0,1,2,3}的函数 h(n)= n 模4。它的图形如下所示:


现在考虑另双色球基本走势图图表新浪爱彩功能 g 将集合K映射到集合S中的符号上 co-graph looks like this:


整体格局可谓组成 f = ,并且可视化为标有图案中符号的时钟。这显示了定义模式的两个周期(函数 h),以及将此核心模式与特定符号的任意关联(函数 g),因此我认为这是一种用功能表示模式的不错方法,但还有其他可能的描述。


那有什么意义呢?

好吧,做这种事情很有趣,不是吗?

我认为值得思考为什么我们不经常回头将函数语言应用于早期(非常早期!)数学。这可能部分是因为,如 通用核心标准“在学校数学中,函数通常具有数字输入和输出,并且通常由代数表达式定义。”在这里,我们有双色球基本走势图图表新浪爱彩具有非数值输出的非代数函数。因此,尽管我们最终确实会在学校学习和教授功能,但它们并不是倾向于让他们谈论小学中遇到的图案,分类,颜色等的功能。

虽然这整个事情看起来似乎 weird 从学校数学的角度来看,如果您习惯像程序员那样思考,并试图找到一种生成这种模式的方法,那么以这种方式思考模式似乎更自然。例如,这篇文章中的图片是在 捉摸 使用两个功能的想法 gh:


您可能会问的另一件事:在进行此活动时,我们是“发现”了这个简单的小学模式背后的功能,还是我们使用功能“对”模式进行了建模?我可能会说,我们使用函数的语言来使某些底层结构更加明显。 

2011年9月27日,星期二

简单的折纸和数学:传统信封



另双色球基本走势图图表新浪爱彩可以帮助引发数学对话的非常简单的折纸项目是 传统信封。就像我以前的文章中提到的其他简单折纸项目一样( 跳蛙纸杯),信封的说明可从 折纸美国图表页面.

这个项目是用信纸大小的纸张制成的(8.5 x 11效果很好,我没有尝试过A4),并且是双色球基本走势图图表新浪爱彩易于访问且吸引人的“实用”项目(他不喜欢折叠笔记的想法,是自己的信封吗?)。

折痕模式(在文章顶部)是以数学为主题的对话的巨大潜在来源。确定形状的类型(信封本身是六边形-裁剪两个角的矩形)并找到其面积(与原始便条纸的尺寸相比,最终信封的面积是多少?)提供了一些探索的内容。平行线和垂直线以及一些45度角使年轻学生更容易谈论图案中的线和角。

图案显然是对称的,但是它具有什么样的对称性?您可能会看到许多折痕图案,例如 纸杯 (下面的图案),具有反射对称性。另一方面,封套具有旋转对称性(允许简单的180度旋转对称性)。


还有一点需要注意的是成品信封的“手感”。如果按照说明进行操作时小心,则最终会得到双色球基本走势图图表新浪爱彩信封,信封的正面剪裁出左上角和右下角(最好在右上角贴邮票)。


但是,如果您通过观看别人来折叠信封或从内存中折叠,则最终可能会得到其镜像,即裁剪了左下角和右上角的信封。信封就像许多折纸单元一样 园部 单位)有右旋和左旋两种版本-如果您以某种方式折叠,您将获得双色球基本走势图图表新浪爱彩方向,如果您以另一种方式折叠,则将获得镜像。构造封套的哪个折痕决定了最终模型的方向?


后记:还有更多的这种折纸模型在玩 这里.

2011年9月23日,星期五

穿刺的骑士's tours


很明显, 国际象棋骑士 不能移动到3x3板上的每个正方形。如果骑士从中心广场开始,它将根本无法移动,而如果从任何其他广场开始,骑士将无法到达中心。如果您通过移除中间的正方形来刺穿木板,那么解决方案的精妙之处可能会减轻您对剩下的问题的简单性的失望:刺破的3 x 3木板上只有双色球基本走势图图表新浪爱彩骑士巡回赛(最多旋转一次,反射和方向变化),并通过一条漂亮的星形路径将其封闭。


这种漂亮的图案激发我去看其他穿孔的方形板上的骑士之旅,这些方形板的尺寸奇特,中间的方形被去掉了。在5 x 5的板上,我只能找到两个不同的解决方案(可以通过旋转,反射和反转方向找到其他不明显的回合),但可能还有更多解决方案。我发现的两个都不是闭合的-第双色球基本走势图图表新浪爱彩遵循螺旋路径并且始终沿相同的方向行进(例如3×3情况),而第二个则沿双色球基本走势图图表新浪爱彩方向开始呈螺旋状,然后在第九个之后改变方向移动。


但是,我发现可以通过将旋转的3 x 4巡回演出“粘合”在一起,在7 x 7穿孔板上创建双色球基本走势图图表新浪爱彩不错的封闭巡回演出。通过将较小的骑士团粘合在一起以使骑士可以从双色球基本走势图图表新浪爱彩骑士移动到另双色球基本走势图图表新浪爱彩骑士的方式来构建骑士团的技术是一种常见的技术,当您要创建对称或半魔术之旅时,该技术特别有用(这是在马丁·加德纳(Martin Gardner)的文章“方桌骑士”中进行了描述 从 数学魔术表演)。


尽管此技术不会像3 x 3情况或前5 5例子那样为您提供螺旋模式,但是复制和旋转技术为路径提供了另一种不错的模式。如果查看以12为模的单元格值(在此跟踪原始板中的值所旋转到的位置),则可以在7乘7的穿孔板上看到这种对称性。


如果连接彼此相等的值,则将获得双色球基本走势图图表新浪爱彩很好的旋转嵌套正方形图案-该图案完全独立于最初的4 x 3板的巡视:显示的全部是应用于制作更大的板子。下图针对某些值(并非全部)执行了此操作-例如5、17、29和41形成正方形,8、20、32和44也是如此。


这种模式是 reminiscent 可以使用Geometer的Sketchpad中的迭代来制作相同模式的更理想版本(用于创建该模板的gsp文件是 这里)。似乎我们最终发现了一种或另一种方式 螺旋状.


您可以使用相同的“旋转和粘贴”过程来创建双色球基本走势图图表新浪爱彩封闭的9 x 9穿刺导览,它由特殊构造的4 x 5开口导览组成。有几个开放的4 x 5游览可以粘合在一起,以形成封闭的9 x 9穿刺游览-以下是双色球基本走势图图表新浪爱彩:
以下是一些有关骑士之旅的文章:
骑士动作
关闭时间
kixote或骑士之旅之谜
更多kixote

2011年9月10日,星期六

螺旋状


比我所知道的任何其他书都多, 西奥多·安德里亚·库克(Theodore Andrea Cook) 生命曲线 显示了我们对螺旋的迷恋程度。该书首次出版于1914年,它融合了19世纪的自然历史, amateur 数学和艺术史。在螺旋数学上,它不是最好的来源,康威和盖伊 数字书 对植物的螺旋形有双色球基本走势图图表新浪爱彩更好的概述,但是它是所有螺旋形的简编中无与伦比的。

我一直在想着螺旋的诱惑,而我最终还是尝试了一些 较早发布的螺旋效果更好的渲染。这个博客中的旧照片是用 捉摸,效果很好,但是这些是使用 处理中 我认为看起来更好一些,并且代码更易于使用。

下面的螺旋线是显示三角形和六边形数的二次螺旋线,最初是从 发布.

另双色球基本走势图图表新浪爱彩螺旋是像描述的​​那样的叶序螺旋 这里。帖子顶部的图片基于下面的图片-点之间的边缘显示为点,而不是点本身。


就其价值而言,这些以及其他类似螺旋的处理代码为 这里。如果您不需要处理,可以在以下位置找到Mathematica和Python版本的二次螺旋上的多边形数 随机行走.




2011年8月26日,星期五

特质和因子晶格

我将坐下一会儿,穿上靴子,然后上路。
说到方式,宠物,顺便说一句,tesseract。
穆里太太脸色苍白,一只手向后伸,紧紧抓住
她的椅子上的支持。她的声音颤抖。 “你说什么?”
                                         - 时间的皱纹,  Madeleine L'Engle

我们可能没有那么麻烦 esse 就像Murry夫人一样,但是当您不加关注他们时,遇到他们,这真是个惊喜。在绘制因子晶格时,您将遇到它们(或至少它们的1个骨骼,顶点和边)。

双色球基本走势图图表新浪爱彩数的因子格 n 作为其节点的所有因素 n。两个节点 ab 如果它们之间有双色球基本走势图图表新浪爱彩箭头(有向边) a 分界 b。通常我们不会画所有的箭头,只画那些 b / a 是...的主要因素 n -所有其他箭头都是按组成找到的,或者是每个节点上的循环的琐碎箭头(a 分界 a)。 (通过这种方式,因子格是非常简单和特殊的很好的例子 分类)。关于绘制因子格的一些注释是 这里.

1的因子晶格只是双色球基本走势图图表新浪爱彩节点。


任何素数p的因子晶格由两个节点组成,唯一的非平凡箭头是1到p之间的双色球基本走势图图表新浪爱彩。有时人们会问为什么1不是质数-这并不能完全回答问题,而是提供了双色球基本走势图图表新浪爱彩例子,说明1与质数之间的区别。


像6这样的数字是两个质数的乘积,给出了双色球基本走势图图表新浪爱彩看起来像正方形的因子晶格。


由三个不同素数组成的乘积之类的数字30会生成双色球基本走势图图表新浪爱彩看起来像立方体的因子晶格。


您猜对了210,它是产生看起来像(a的压缩帧)的因子格的最小数字 Tesseract (4维 超立方体)。

您可以走得更远(当然),但是很难看清图中的情况。 2310是给出5个多维数据集的最小数字。