2010年1月29日,星期五

阿波龙垫片和福特圈子

一开始我不想阅读最新一期的 美国科学家 - 布莱恩·海斯(Brian Hayes),是《 "Computing Science" column 目前正在放假,他的文章是我阅读AS的惯常动机。事实证明,达娜·麦肯齐(Dana Mackenzie)提供了 一篇非常好的文章 在Brian不在的情况下。写关于 阿波罗垫片, 像本列一样(大约 计算,但不一定 电脑),达娜 Mackenzie的文章结合了休闲数学,物理学以及计算机科学的要素。

该文章提到的一种特殊的阿波罗式垫片(一种涉及零曲率的圆-直线)对数字理论的意义甚至比所指示的文章更为重要-与下图中的线相切的圆是的顺序 福特圈子 可以认为是 法雷序列.


我还没有机会真正找到答案,但是我认为Mackenzie在他的文章中讨论的一些一般的Appolonian圆公式可以证明是造成这种情况的后果。 中位数 此“福特圈子”案例中的公式。

我试图在上面的漂亮图中重新创建Ford Circle组件 处理中,但由于我在这方面的技能有限,导致数字(代表圆弧的曲率)有些偏离中心,并且大小不太合适。


我更喜欢下面不显示数字的版本-如果正确加载了applet,则单击applet区域将导致绘制新一代的Farey序列/ Ford圆(加号和减号键可进行原始缩放)。

该浏览器没有Java插件。 在此处获取最新的Java插件。


正如Mackenzie所提到的,“整个垫圈就像前四个圆圈的万花筒图像一样,通过无穷无尽的曲面镜反射一次又一次地反射。”这可能会说服您使用万花筒进行一些实验-如果是这样,您可能想签出 麦克斯韦恶魔的最新文章.

有关Farey序列和福特圈子的一些较早的博客文章是 这里这里.

更新资料:请查看很棒的帖子 笛卡尔圈子Wolfram博客.

2010年1月28日,星期四

题外话:渥太华的进步教育

如果你认识人 渥太华 谁关心公共教育,请让他们知道即将发生的支持 丘吉尔另类学校,并普遍支持替代性公共教育。



从有关此公开演讲的宣传文献中 阿尔菲·科恩(Alfie Kohn):

“我们对儿童学习方式的了解–以及学校如何提供帮助-在过去几十年中已经走了很长一段路。不幸的是,大多数学校没有:’与从内到外的理解相比,更多的是记住事实和练习孤立的技能;他们仍然将学生排除在任何有意义的决策角色之外;他们仍然依靠成绩,测试,家庭作业,讲座,工作表,比赛,惩罚和奖励。阿尔菲·科恩(Alfie Kohn)探索了每种常规做法的替代方法,并解释了为何不采用渐进式教育’这只是一个现实的选择,但那个’更有可能帮助孩子成为批判性思想家和终身学习者。”

阿尔菲·科恩(Alfie Kohn)是11本书的作者,其中包括《奖惩》,《我们的孩子应得的学校》,《无条件养育子女》以及最近出版的《家庭作业神话》。他被《时代》杂志描述为美国 “最直言不讳的教育评论家’对成绩和考试分数的固定。”

讲座将于2010年2月11日下午7:00至9:30在伍德罗夫高中礼堂(渥太华2410乔治娜博士)举行。

门票可通过以下网站在线获得 Dovercourt 每个费用为20加元。

如果您打算2月11日在渥太华-请出来听听Alfie的讲话。

2010年1月21日,星期四

一个最喜欢和最讨厌的定理

有一个概念会破坏所有其他事物并使之不安。我指的不是邪恶,道德的局限性在于道德。我指的是无限。
-乌龟的化身Jorge Luis Borges

年轻人,在数学中您不了解事物。您只是习惯了。
-约翰·冯·诺依曼

最近有很多关于喜欢的定理的好帖子(在 , 总结和 实践研究, 例如)。

我发现有趣的是,其中一个(f(t)的最爱Kate Nowak) 不可数实数 通过 康托尔的对角化论点,似乎也是某些人中最喜欢的人之一 讨厌的 定理。

见证人 随之而来的激烈辩论 不久前,当Mark CC的 好的数学,不好的数学 做公共服务来解释为什么最近的Cantor-denier曲柄被误认为了。最近,在 P = NP优秀的帖子 关于康托尔的对角线方法,该方法也产生了很多评论。

撇开曲柄,康托尔的论点及其使用方法困扰着许多聪明人。 路德维格·维特根斯坦 不是康托尔旦尼尔,而是我对他的阅读 谈数学基础 就是他觉得我们谈论论证结果的方式使我们避开了数学和语言上的废话。维特根斯坦(Wittgenstein)将对角线化方法称为“充实的证明”,因为人们声称它显示的比真实的要多-对他来说,它向我们表明,“概念实数与概念自然数的相似性比我们少,被某些类比误导,倾向于相信”,而我们进一步误导以为它揭示了 实数集的一个属性,而不是“集”概念的限制。维特根斯坦(Wittgenstein)对数学话语(和集合)的限制比大多数实践数学家要大得多,但应该指出他对``更大''无穷大的想法的不满,并且我们应该认识到,分享这种不满的其他人也很好。

康托尔的对角线论证无疑是我的最爱之一,随着时间的流逝,随着我逐渐理解(或习惯)它对令人惊讶的定理和证明生态系统(包括定律)的中心地位,我变得越来越欣赏它。 暂停问题的不确定性 (我认为我的其中一票 最喜欢的定理,无论您使用哪种证明), 不动点定理, 戈德尔不完全性定理罗素悖论。 (在书中通过类别理论在不动点定理的背景下,康托尔对角线论点有一个有趣且容易获得的发展 概念数学 由Lawvere和Schanuel撰写;相同版本的较少访问版本 在这儿

通过阅读Wilfrid Hodges的一篇有趣的论文(P = NP博客的Richard Lipton提到),我们可以获得有关Cantor-haters的很多观点。霍奇斯(Hodges)讲述了他在坎特(Cantor)担任期刊编辑时发表数十篇论文来攻击康托尔的对角论点的经验。 (Hodges纸在 后记在这里和 这是PDF

Mark CC的观察 霍奇斯(Hodges)在上述文章中也提到了这一点:“我们的许多作者未能意识到攻击论点必须找到错误的地方。一些作者认为,您可以通过做其他事情来避免证明。 ”或如Mark所说:“您不能在不解决Cantor证明的情况下使用枚举来驳斥Cantor的证明。这是又一次愚蠢的尝试,试图不干扰Cantor而又不真正理解它。”

但是,为什么有些人通过Cantor的对角化方法对Reals的不可数性反应如此之差?也许是某些人对此反应如此积极的原因。霍奇斯建议:

这不过是一个猜测,但我确实猜测到Cantor参数的问题如下。这种论点通常是人们遇到的第一个数学论点,在该论点中,结论与他们的实践经验或视觉想象力没有任何关系……甚至现在,我们也接受它,因为它被证明了,而不是出于任何其他原因。

似乎我们对数学可以证明的东西,证明如何起作用以及我们应该完全理解的东西的认识常常受到限制。 Cantor的论点测试了所有这些限制,有时我们没有通过测试。

2010年1月19日,星期二

签约数学老师

你真的应该去 数学洪伯 并签出 第二十二版数学老师在玩.

完成之后,请 提交您的帖子 第23版,将于下个月在此处出现 数学娱乐.

2010年1月8日,星期五

收集旧的数学课本

也许可以用这种方式描述收集者最深层的动机:他从事反对分散的斗争。
沃尔特·本杰明,《收藏家》中的 街机项目

现在有许多资源可供使用,这些资源使我们可以查看数学的主要资料-最初引入了新的 概念,或改变了思维和研究的过程。例如,MAA有其 数学宝藏网站,而皇家学会 最近通过其宣传了许多珍宝 开拓性展览.

但是,诸如旧教科书之类的旧“次要”资源又如何呢?主要来源通常很有趣,它们如何与时俱进 -他们如何激发和预测未来的方向。次要来源通常很有趣,因为它们的作用恰恰相反 通过封装和反映产生它们的环境。

学校数学教科书,单独地和集体地,总结了产生它们的时代的许多方面。他们告诉我们关于学校的信息 数学,还有教学法,课程设置,预计上学的人以及在这些课程中教书的人。他们告诉我们 排版,装订,谁创作(和授权)文本,如何分发文本等等。对于数学老师来说, 了解改革概念在数学教育中有多长久,以及当前关于技术在数学教育中的位置的辩论如何 以前在有关计算器,计算尺和三角表的讨论中发挥了作用。

沃尔特·本杰明(Walter Benjamin)在关于“街机项目”的收藏家的注释中解释说:“对于收藏家来说,世界是存在的,并且确实存在于他的每个物品中……对于真正的收藏家来说,这个系统中的每一件事都成为一本百科全书关于时代,地貌,行业和来源的所有知识。”

例如,绘制多年来教科书如何试图证明和鼓励数学学习的图表将是很有意思的。下图是从1930年代出版的文本中摘录的一个例子。今天我们将使用什么图像?


Pat Ballew(的 帕特的博客)放在一起 有趣的调查 高中数学课本的历史,重点介绍了我们目前认为理所当然的一些关键概念的出现。他的概述显示了看旧教科书可能是多么有趣和有用。为了您自己的收藏,如果您不喜欢陈旧的书, Google图书 已经提供了许多非常古老的数学课本。

2010年1月7日,星期四

图灵2012



只要我们仍在努力,对数学和计算机科学感兴趣的人将注意2012 as the 艾伦·图灵 一百周年的组织者 艾伦·图灵年 庆祝活动已经开始筹划,他们的网站已经 许多有趣的资源 对于任何想了解更多关于图灵的生活和工作的人。

英国首相戈登·布朗(Gordon Brown) 向图灵道歉 从2009年9月开始,让人想起为什么图灵的生活既忧郁又欢庆。

2010年1月5日,星期二

奇怪的加泰罗尼亚人



一件事跳出 加泰罗尼亚数字三角形分形 是奇数加泰罗尼亚数字的不规则频率和规则间距。加泰罗尼亚语数字三角形的最右列中显示加泰罗尼亚语数字,而奇数是上图中以黑色显示的数字(与1相等的数字)。 2显示为黑色,而全等于0 2显示为灰色)。

数学世界 告诉我们,加泰罗尼亚语的奇数形式为$ C_ {2 ^ k-1} $,换句话说,奇数加泰罗尼亚语的标记为 梅森数字。第一束奇数加泰罗尼亚语是1,5,429,9694845,...(A038003 in OEIS).

奇特的加泰罗尼亚人迅速成长。巧合的是,有一个甚至更快的序列被称为 加泰罗尼亚语-梅森序列 (007 在OEIS中)。加泰罗尼亚语-梅森序列在数学上与加泰罗尼亚语数字不相关-它是加泰罗尼亚语发现的梅森数字的子序列,由以下递归定义:



$ c_n $的值增长如此之快,以致OEIS仅显示前五个术语。