2009年10月30日,星期五

另一个折纸的理想



这个星期我有一个很棒的折纸日-我发现 折纸鉴赏家 ,由K原邦彦(Kunihiko Kasahara)和高滨敏(Toshie Takahama)在二手书拍卖中成交(价格为3.00加元),然后当我回到家时,发现我的 折之间 DVD had arrived.

折之间 纪录片很棒-美丽,鼓舞人心,内容丰富,并附带短片, 牛鞭毛纲,如果您想让老师们热衷于与学生一起使用折纸,可以在学校数学部门的会议上播放一段很棒的短片。

折之间 揭露了许多吸引人们使用折纸的原因,而我认为,对于那些不熟悉现代纸折的人来说,它会带来很多惊喜。折纸镶嵌的图像特别漂亮,并且呈现的更具代表性的折纸“雕塑”常常令人难以置信的细节。

这部电影的主要焦点是折纸技术与艺术性之间的张力。对于 罗伯特·朗,两者之间没有冲突-技术有时在艺术性上占主导地位,但最终艺术性吸收并采用了技术。同时,似乎 埃里克·乔伊瑟(Eric Joisel) 为了解决他对艺术表达的需求和对技术的诱惑而进行的内部斗争。

尽管折纸的艺术和技术方面之间存在冲突或潜在冲突, practitioners 作为艺术形式的最高峰,我发现艺术表达和技术复杂性对我自己的折纸体验都不重要。也许是因为我缺乏艺术和技术才能。但是,我对如何 保罗·杰克逊, 埃里克·德曼(Erik Demain)汤姆·赫尔 在谈论折纸时,他们都在操纵非常简单(但又漂亮又有趣)的模型。保罗·杰克逊(Paul Jackson)考虑了一些单折模特,以及Erik Demain和Tom Hull都在操纵 双曲抛物面 (Demain对此简单模型的说明是 这里 ,赫尔在他的著作讲义第65页上找到了相关说明, 这里 )。


转向 折纸鉴赏家 为了进一步激发灵感,我发现了这一说法,这是对所有艺术性和技术实力的欢迎。 折之间:

另一个简单而又可复制的东西就是折纸的另一个理想。

一个非常简单的“旋转四面体”模块化折纸模型,由 智子保险丝,与上述报价共享相同的页面。此模型是链接的四面体的一个有趣的环形结构,已由工程师和化学家进行了研究(例如,参见Simon Guest's 对称页面)。旋转的四面体和双曲线抛物面是令人惊讶而又简单的模型的例子,这些模型使折纸成为一种探索数学的便捷且美观的方法(请参阅本手册)。 较早的帖子 其他折纸数学链接)。


2009年10月29日,星期四

跳跃数学


                                                         image from 日常数字故事

几年前,我看到了一个演讲 约翰·麦顿跳跃数学。他是一位有趣且引人入胜的演讲者,您应该看看 他的短片 at MAKE magazine's 人性的要素。可以找到社区组织如何实施JUMP程序的示例。 这里 ,位于渥太华研究与创新中心(OCRI)的网站上。

2009年10月27日,星期二

谐波分母数三角形


这个数字三角形由的分母组成 莱布尼兹谐波三角。来自 较早的帖子 关于该数字三角形,您可以看到有两种生成谐波分母三角形的方法:

1.以莱布尼兹谐波三角中的条目的倒数;要么
2.将Pascal三角形的条目乘以n + d(这里我们使用的是Pascal三角形的“三角数样式”索引,而不是通常的“二项式系数样式”索引)。

的条目 Harmonic Denominator Triangle ($g^d_n$) are given by:

\ [g ^ d_n = \ frac {1} {h ^ d_n} \]

\ [g ^ d_n =(n + d)t ^ d_n \]
其中$ h ^ d_n $是莱布尼兹谐波三角中的条目,而$ t ^ d_n $是Pascal三角中的条目。与三角数的连接为我们提供了通用公式:

\ [g ^ d_n = \ frac {n(n + 1)\ cdots(n + d)} {d!} \]

我期待进一步了解这个数字三角形(以及莱布尼兹谐波三角形)。如果你利用 信息系统 ,您会看到HDT包含许多众所周知的序列。



快速浏览行和列,您会发现许多众所周知的序列: A005430, A002457, 002, A027480A033488,仅举几例。


整个三角形在OEIS中都有一个条目: A003506。 HDIS的OEIS条目中的评论之一指出了一种巧妙的方式来表达Pascal三角形与谐波分母三角形之间的关系。 The entries of the - HDT的第几行是系数 多项式的一阶导数的系数是(k帕斯卡三角形的第+1行。更具体地说,系数 $(x + 1)^ {k + 1} $的价值 k+1行Pascal三角形,系数 $ \ frac {d} {dx}(x + 1)^ {k + 1} $中的 - 谐波分母三角形的第th行。

2009年10月23日,星期五

美索不达米亚数学



在符号上。是否相信数学是创造出来的还是 发现,符号肯定是创建的。和符号可以直接 数学课程。 

- Elisha Peterson, 从线性记号解开线性代数

学习古代伊拉克数学的一个共同切入点是通过其符号表示。的 六性 (以60为基数)系统编写 楔形文字 定义了古代伊拉克的数学对 大多数通过教科书和简短文章接触过它的人。对此有所了解的一种方法是访问 钨 Alpha,输入数字,然后选择“其他历史数字”- 您将被视为数字化版本的 巴比伦楔形六边形的数字是什么样子。




钨 Alpha执行其六倍体 cuniform  translator 并非没有问题,但老师已经 在他们的教案中使用它.

值得思考的是,导致Wolfram数字化楔形文字的一连串的抽象概念。如 埃莉诺·罗布森 在她的书中指出 古代伊拉克的数学:社会历史,最早的数字“写”实际上是令牌在黏土板上的印记-最初,令牌实际上是密封在黏土中以便记录计数的。后来,人们确定可以放弃代币本身,而印象可以代替它们。后来,印模上的楔形文字被切成刻痕,这是最早的书写形式之一。长期以来,我们一直在用笔和纸或排版图纸模仿这些切口,现在 可以以这种新的数字化形式为我们自动生成楔形文字。



罗布森的书向我们介绍了有关楔形文字和古代伊拉克数学的各种体系的许多知识,但它指出,如果我们了解古代伊拉克的数学,就会严重误解 solely in terms of  它与我们更熟悉的数学编写方法之间的符号差异。古代伊拉克的数学不仅是我们熟悉的数学,具有不同的基础和不同的写作风格,而且在难以理解的方式上也有根本不同。看来,当西方人看另一种文化或另一个时代的数学时,我们倾向于通过我们自己的数学的固定视角来看待它,我们想知道他们在多大程度上期望我们当前的数学,他们的“贡献”是什么,以及在哪些方面受到限制。我们倾向于问类似的问题, 他们有“零”的概念吗?他们有“帕斯卡三角”吗?他们知道毕达哥拉斯定理吗?这种看待他人数学的有限方式使我们对数学的历史做出了许多站不住脚的假设。

罗布森的分析迅速破坏了简单的故事,这些故事经常在数学教科书的空白处重复出现,这些故事使伊拉克成为希腊人阐述后成为“西方”数学传统的起点。正如她早些时候指出的那样,“古代伊拉克的数学文化比标准叙述所允许的更加丰富,复杂,多样化和人文化。”(第2页)她的书试图提供“新的外观和“新观点”(第8页),这通常是由于过于简化的西方视角而被掩盖的。

在古老的伊拉克,算术,文学,三位一体的力学以及知识分子,国家和教育文化一起成长,相互影响,赋予这一时期的数学独特的丰富性。本书中考察的3000年表明了一个令人惊讶的数学实践历史,其始于基本的算术的出现,其发展到会计和工程应用中,并最终演变成巴洛克式的命理和数学除法系统。

有趣的是,尽管所探索的时期是一个古老的时期,但大部分只是最近才被发现。因此,关于古代伊拉克数学的许多非学术著作在其观点上都相当简单。罗布森(Robson)认为,随着楔形文字数学的例子在20世纪初和中期出现,学者们开始偏向于那些符合其先前存在的希腊和埃及数学观念的文本(排除了更多 representative ),这个过程只会助长 received 东方主义者 关于这一时期的数学思想。

通过对比古代楔形文字片的两种译本(表9.1,第277页),提供了一个关于我们的成见如何影响我们对他人如何理解和使用数学的理解的惊人例子(表9.1,第277页)-20世纪中叶的早期译本充满了现代数学术语,而最近的翻译则试图更接近原始版本。使用现代镜头的翻译使用诸如加,减,乘和除的常规术语来描述数位板的内容-与之形成鲜明对比的是,语境化的阅读使用了彼此“握住”,“折回”长度的图像。在计算中,以及“撕裂”和“累积”曲面。

罗布森(Robson)的方法植根于数学观点,本质上是一种观点。 社会建构主义 -她承认,大多数工作的数学家可能都不持有这种观点,但这为历史分析提供了最好的视角。  有趣的是,她还认为,关于 数学柏拉图主义 (许多数学家和数学史学家所持的观点)不可避免地会影响人们看到,不同文化之间数学之间的联系比合法存在的联系要多。如果我们认为数学对象是“真实的”和“发现的”而不是发明的,那么我们将期望不同的文化以某种方式发现相同的数学真理。如果我们放弃这种观点,那么数学实践和理解上的差异就不足为奇了。

有趣的是,关于幸存的楔形文字片中教育文本的流行。这些平板电脑中的一些模仿“官方”文件,但带有用于文士教育的明显迹象。例如,某些平板电脑通过“数值参数的不切​​实际大小,...以及缺乏可靠的上下文数据”被识别为具有教育意义(p56)。创造充满现实情境的数学问题显然已经困扰了教师数千年。罗布森(Robson)建议,有证据表明在某些时期,抄写训练是利用 情境学习 而不是纯粹死记硬背(p84)。

放弃对这一时期及其数学文化进行更简化和简化的理解的后果之一是,我们失去了将古代美索不达米亚数学,毕达哥拉斯和欧几里得的希腊数学联系在一起的数学的“宏大叙事”西方传统割断了统一这些数学传统的简单线程,以支持更为复杂的影响编织。

古代伊拉克的数学 是其主题和方法的重要参考。对于研究数学历史或这一时期的任何人,它提供了重要的资源和范例。然而,对于罗伯逊所追求的方法必不可少的原始资料的详细阅读和近距离阅读及其在文化背景下定位这些文字的承诺,可能对那些只对主题感兴趣的读者来说证明了太多。对于这组读者,希望本文的见解将很快反映在更一般的作品和文章中。 幸运的是,有许多很好的网络资源反映了对古代伊拉克数学的这种新兴理解,其中许多是由罗布森本人贡献或维护的(请参阅 她的网页 )。

2009年10月19日,星期一

博客LaTeX是谁?

如果您有Blogger博客,则可能正在使用一些 $ \ LaTeX $ 渲染器,使您的数学看起来不错。几天前,我正在使用的那个(来自 www.watchmath.com)停止工作(希望它会在现在或不久后恢复正常)。

我的有限研究表明,大多数Blogger对$ \ LaTeX $的使用都依赖于嵌入在页面某处的一小段javascript,该javascript调用了较大的javascript(可能位于另一台服务器上),进而调用了其他托管程序,实际上进行渲染(可能位于另一台服务器上):很多潜在的故障点。这种方法的另一个不幸的方面是,它不允许呈现的数学形式出现在读者中-您必须查看页面本身才能运行脚本。

如果您失去了数学渲染功能,则可以通过阅读以下内容来了解​​这些内容 replacemath.js docs和 Mathtex 文档。

现在,我正在使用以下脚本来渲染数学:


<script src="http://mathcache.s3.amazonaws.com/replacemath.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">
replaceMath( document.body ); 
</script>


将其放置在页面上的某个位置,它将调用'replacemath.js'中定义的replaceMath函数-请参阅上述链接中有关此文件的文档。

尽管渲染效果不如表观版本出色,但还算不错。有时间的时候我会寻找更好的东西...

PS: 此博客文章 很好地概述了现有的LaTeX渲染选项。

2009年10月15日,星期四

戏剧老师17



有很多幽默感,几部电影,一些很棒的活动和探索以及许多数学 戏剧老师17。希望您和我一样喜欢阅读这些内容。感谢所有提交帖子或回答我的要求以包括其工作的人。

首先,一点点的管理:请参阅 这个帖子随机行走 关于重生 数学嘉年华,并为 数学老师在玩.


David Richeson在 被零除 为我们带来了很多活动,这些活动很可能会激发一些崭露头角的数学家 幼儿园数学.

在她的帖子中 小学数学并不容易, 乔安妮·雅各布斯(Joanne Jacobs) 指导我们阅读Hung-Hsi Wu于2003年发表的有关基础数学和基础数学老师的重要性的文章 美国教育家.

雷切尔M鼓励我们成长 盘点花园 发表于 quirkymomma.com -有助于加强基本计数和数字识别的活动。

数学无处不在,尤其是在早餐桌上。在 我的孩子与数学 我们想起了数学发现的挑战和回报 数学与香蕉. 里克·里根(Rick Regan)提出了一个有趣且可食用的建议 100天的学校项目 in his post 二进制的一百个麦片 at 探索二进制.

柿江礼物 教孩子们如何在30天之内赚到100万美元! posted at 伯伯&朋友:社区博客。与经济主题保持一致,Kendra提供 南瓜补丁:存钱罐数学游戏 发表于 南瓜补丁.


最近在数学博客上写了很多有关如何理解和解释“负乘以负就是正”的文章。关于这个富有成果的主题,Brent Yorgey提出了 减乘以减为正 发表于 数学少见。 Jason Dyer收集了这个问题产生的许多线索,并在 负数负数 发表于 数字战士.

Denise提供了一些指导 如何解决数学问题II posted at 让我们玩数学吧!.

Sue Van Hattum提供了一种解决数学焦虑问题的方法 in her post 数学放松:克服数学中考试焦虑的引导可视化 at her blog 数学妈妈写道.

您可能听说过协作学习中的“拼图”方法,但是“快速约会”方法又如何呢?凯特·诺瓦克(Kate Nowak)在她的帖子中介绍了这种结构 快速约会 at .

John Golden提出了勾股定理的动态几何探索,其中考虑了 GeoGebra:三角形调整 发表于 数学洪伯。在先前的文章中查看他的GeoGebra简介 这里 。您可能还想查看Kate Nowak关于将GeoGebra放入博客的说明 这里 .

Kimberly Lightle的帖子, 动态数学和科学学习与模拟 , 在  中学数学与科学示范资源 还有玛丽亚·安德森(Maria Andersen)的帖子, PhEt的交互式仿真 , 在  大学数学教学 两者都提供了一些在线仿真软件的绝佳链接。苏·范哈图姆(Sue Vanhattum) 数学妈妈写道 在她的帖子中告诉我们有关通过计算机交互学习数学的早期先驱 头脑风暴:儿童,计算机和强大的创意.

丽兹 词干学 为我们指出了一项针对数学老师的新资源和招聘计划, 美国数学,在她的帖子中 X加Y.

BYU数学系提供了另一个数学资源, 宣布 他们的网站 我什么时候使用数学? 已推出。这个肾上腺问题也得到了回答 黛布·罗素 in her post 数学:我什么时候会用到这种东西?,指向有关数学和3D动画的文章。

大流行及其人数,泰瑞斯·埃雷拉(Terese Herrera) 为我们提供了由《纽约时报》在博客上创作的H1N1启发性课程 中学数学与科学示范资源.


幽默和数学在最近的几篇文章中并存。



帕特·鲍洛(Pat Ballew)在脸颊数学演讲中提供了一些帮助 您可能会成为数学家,如果... 发表于 帕特的博客.

at在 360 介绍一些很棒的数学漫画 关于A4, 另一本数学漫画另一部漫画怎么样?。卢克·凯恩(Luke Kane)在他的帖子中为我们指出了其他一些近期且非常出色的数学漫画 漫画与数学逻辑巢.

复杂化,我们在帖子中有一些微积分诗 微积分culus句-导数.

错误,模棱两可,意想不到的和不可能的事情-数学老师会不时遇到这些问题。


杰基(Jakie)指出,错误通常会在她的帖子中变成可教导的时刻 画板错误时 at 连续性.

发光的脸男人提出了 数学的歧义 发表于 发光的男人.

山姆·沙(Sam Shah)向我们展示了一些在帖子中表现不佳的函数 sin(1 / x) at 连续无处不在,无处可寻.

弗拉德·阿列克谢夫(Vlad Alexeev)向我们展示了一本不可能的小书 Anatoly Konenko的迷你书籍 在他的博客上 数学绘画和雕塑.



约翰·库克(John Cook)在帖子中发表了有关音阶背后的数学运算 五分之一圈与数论五分之一圆和二的根 at his blog 努力.

艾莉森·布兰克(Alison Blank)汇集了灵感和灵感 普雷齐 介绍, 数学不是线性的已发布 关于 it on her blog 教的公理.

的Maria H.Andersen 大学数学教学 汇集了另一个令人印象深刻 prezi演示 并链接到她的帖子 我们如何衡量数学的教与学?

奥尔巴尼地区数学圈 让我们知道数学纪录片 难题:通往世界上最艰苦的数学竞赛的道路。要了解有关Math Circles的更多信息,请查看 全国数学界协会网站.

绿色保险丝膜 他们的博客上又发布了一个数学电影公告: 折之间, 他们关于数学和艺术或折纸的纪录片, 现在可以通过DVD获得.

里达·莫斯沃尔德(Reidar Mosvold)让我们知道了一个看起来很整洁的事件: 爱尔兰数学周 在他的博客上 数学教育研究博客.

Marjorie Morgan在她的帖子中介绍了她对户外教育和数学教学的想法 林赛&沙龙-户外探险家 at 走!户外女孩.



令人惊讶的是,猜测和测量都可能落入数学范畴。

汤姆·德罗莎介绍 猜测的非常精确的科学 posted at 我想永远教.

玛丽亚·米勒(Maria Miller)礼物 10/10和公制周 发表于 家庭学校数学博客.

坚持公制主题, 奥斯汀·萨尔茨(Austen Saltz),一名高中生,在 说话科学,在他的帖子中将我们指向尼康的Universcale 宇宙的大小。 Universcale非常让人联想到 10的幂 70年代的电影,但闪光得多 这里 )。

可以找到两种思考折断杆和制作三角形的方法 比尔蜥蜴 and 帕特的博客。 Bill在他的帖子中采用了基于模拟的方法, 断棒实验 and 重新折断的棍子,而Pat则在帖子中解释了如何使用限制来解决问题, 经典几何概率问题的极限方法.

谢谢大家。如果您提交的文章不包括在内,或者您认为自己的帖子会做一个不错的补充,请考虑 提交 到下一部分。下一个 数学老师在玩 将在 数学妈妈写道 on October 30th.

2009年10月7日,星期三

三个数字三角形,两个伸缩系列


[在帕斯卡三角形中]存在着太多的关系,以至于当有人找到新的身份时,除了发现者之外,没有其他人对此感到兴奋了! - 唐纳德·E·努斯 (如马丁·加德纳所引)

我的灵感来自 张贴在帕特的博客上 并阅读A.W.F.爱德华兹 帕斯卡的算术三角形 看一下对高维三角数的倒数求和。事实证明,您可以使用相同的 伸缩系列技术 这样您就可以对二维(即通常的)三角数的倒数求和,并且这些和的“伸缩”特征可以用一些很好的恒等式表示。

总和的陈述是一个不错的陈述。对于 d > 1我们有:

\ [\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ d_n} = \ frac {d} {d-1}。 \]
这给你2的结果 d = 2,如Pat的文章中所述。在这种情况下 d = 0或1,序列不收敛。

在下面的注释中,没有一个身份是新的(我认为最新的身份大约有400年了)-帖子顶部的Donald Knuth著名的语录是为了警告任何被抬高并衍生出来的人大量。

在此帖子的所有语句中,索引 d 范围超过非负整数(0、1、2 ...),而 n 范围超过自然数(1、2、3,...)。这似乎有些不一致,但是我们想从零维开始( d = 0)并使用第一个三角数(n = 1).

d三角数$ t ^ d_n $(“维”为d)由$ t ^ 0_n = 1 $定义,并且

\ [t ^ d_n = \ sum ^ {n} _ {i = 1} t ^ {d-1} _i \ mbox {for} d > 0. \]

$ t ^ d_n $的公式也可以表示为差t $ ^ d_n-t ^ d_ {n-1} = t ^ {d-1} _n $。

什么时候 d = 2我们得到通常的三角数, d = 3给出金字塔,而 d = 4给出了 三角三角形,等等-向上的每个尺寸都可视为下方的尺寸的堆叠。请注意,此定义具有第一个三角数(适用于所有尺寸 d)设为1而不是0,按原样 有时首选; 在这种情况下,从1开始是有意义的。

根据这个定义, 帕斯卡身份,您可以确定

\ [t ^ d_n = \ left(\ begin {array} {c} n + d-1 \\ d \ end {array} \ right)。 \]
如果您熟悉Pascal的Triangle并仔细查看三角形的数字定义,您将在 d-三角数是Pascal Triangle“曲棍球棒定理变相”。 这为我们提供了d三角数的直接公式:

\ [t ^ d_n = \ frac {n(n + 1)\ cdots(n + d-1)} {d!}。 \]
这也表明我们安排了 d-三角数到Pascal的三角形中,同时请记住,我们并没有像通常对二项式系数那样对它们进行索引。



该公式还使我们有机会生成一堆身份,例如:

\ [t ^ d_n = \ frac {(n + d-1)} {d} t ^ {d-1} _n,\]

\ [t ^ d_n = \ frac {n} {d} t ^ {d-1} _ {n + 1}。 \]
从这里开始,我们翻转三角形中的每个条目,以获得一个新的三角形,莱布尼兹三角形(爱德华兹称之为),其条目是的倒数 d-三角数。



这个三角形也有很好的差异关系,因为 > 1,

\ [\ frac {1} {t ^ d_n} = \ frac {d} {d-1} \ left(\ frac {1} {t ^ {d-1} _n}-\ frac {1} {t ^ {d-1} _ {n + 1}} \ right)\]
为了证明这一身份,请推广将分数$ \ frac {1} {n(n + 1)} $分解为 $ \ frac {1} {n}-在通常的伸缩系列示例中为\ frac {1} {n + 1} $。

为了获得最后一个数字三角形,我们将莱布尼兹三角形中的每个条目除以$(n + d)$,从而得出 莱布尼兹谐波三角。换句话说,我们定义$ h ^ d_n = \ left(\ frac {1} {n + d} \ right)\ frac {1} {t ^ d_n} $,并使用条目$ h ^ d_n创建一个新三角形$。

回到$ t ^ d_n $的公式,我们可以获得其他一些标识,例如:

\ [h ^ d_n = \ left(\ frac {1} {d + 1} \ right)\ frac {1} {t ^ {d + 1} _n},\]

\ [h ^ d_n = \ left(\ frac {1} {n} \ right)\ frac {1} {t ^ {d} _ {n + 1}}。 \]
并且,与其他三角形一样,存在良好的差异关系,因为 d < 0 :

\ [h ^ d_n = h ^ {d-1} _n -h ^ {d-1} _ {n + 1}。 \]
可以按照与用来显示反三角形的差关系相同的思想来证明这一点。值得将此身份与Pascal三角形的相应身份进行对比。

现在,如果您已经证明了这些身份,有两种简单的方法可以找到和:$ \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ d_n} $。

第一种方法:使用Leibniz Harmonic三角形。
利用以下两个身份:

\ [h ^ d_n = \ left(\ frac {1} {d + 1} \ right)\ frac {1} {t ^ {d + 1} _n},\]
\ [h ^ d_n = h ^ {d-1} _n -h ^ {d-1} _ {n + 1}。 \]
我们可以将它们结合起来并观察到> 1:

\ [\ begin {array} {lll} \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ d_n}&=&d \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} h ^ {d-1} _n \\&=&d \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ left(h ^ {d-2} _n-h ^ {d-2} _ {n + 1} \ right)\\&=&d \ left(\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} h ^ {d-2} _n-\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} h ^ {d-2} _ {n + 1} \ right)\\&=&d \ left(\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} h ^ {d-2} _n-\ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} h ^ {d-2} _ {n} \对)\\&=&d \ left(\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} h ^ {d-2} _n-\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} h ^ {d-2} _ {n} + h ^ {d-2} _ {1} \ right)\\&=& dh^{d-2}_{1} \\ &=&d \ left(\ frac {1} {d-1} \ right)\\&=&\ frac {d} {d-1} \ end {array} \]

顺便说一下,我们还有$ \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} h ^ d_n = \ frac {1} {d} $ d > 0.

第二种方法:对莱布尼兹三角形使用倒数识别。
在这里,我们看到一切都直接来自身份:

\ [\ frac {1} {t ^ d_n} = \ frac {d} {d-1} \ left(\ frac {1} {t ^ {d-1} _n}-\ frac {1} {t ^ {d-1} _ {n + 1}} \ right)。 \]
我们有 d > 1:
\ [\ begin {array} {lll} \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ d_n}&=&\ frac {d} {d-1} \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ left(\ frac {1} {t ^ {d-1} _n}-\ frac {1} {t ^ {d-1} _ {n + 1}} \右)\\&=&\ frac {d} {d-1} \ left(\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ {d-1} _n}-\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ {d-1} _ {n + 1}} \右)\\&=&\ frac {d} {d-1} \ left(\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ {d-1} _n}-\ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} \ frac {1} {t ^ {d-1} _ {n}} \右)\\&=&\ frac {d} {d-1} \ left(\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ {d-1} _n}-\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {1} {t ^ {d-1} _ {n}} + \ frac {1} {t ^ {d-1} _ {1}} \ right)\\&=&\ frac {d} {d-1} \ left(\ frac {1} {t ^ {d-1} _ {1}} \ right)\\&=&\ frac {d} {d-1} \ end {array} \]

解决所有这些问题后,我在以下位置遇到了相同的“广义三角数的倒数”问题 拓扑沉思 -解决方案#3与此处的解决方案相同,但以二项式系数表示(并且未从这些术语中提取一些一般恒等式)。

2009年10月5日,星期一

美丽的底片



老师(强调): 双重否定会产生积极的影响,但双重肯定会永远不会造成负面的影响!
学生(懒散地,从课后): 是啊是啊...

我不确定这个话题是从哪里开始的,但是 数字战士 已经收集了指向大多数出现的“减乘以减为加”帖子的指针 这里 .

到目前为止,我还没有读到我认为是通常的可视化效果(但可能已经提到过,在某些注释中有所掩饰):乘以-1就是围绕零逆时针旋转180。

该图像的问题在于它使我们脱离了数字线,并使我们在太空中漂浮了片刻。但这是完全正确的-我们浮动的空间实际上是 复数,并且将“乘以-1”视为“逆时针旋转180”是与“世界上最美丽的方程式“ $ e ^ {i \ pi} = -1 $。以同样的方式,旋转90度对应于乘以$ i $,乘以$ i $两次将使我们到达乘以- 1是有道理的,因为$ i ^ 2 = -1 $。它必须是逆时针方向才能使虚轴具有通常的方向。

说乘以-1对应于旋转180度,并不能说明 为什么 负数表示负数是正数,但是它提供了一种与我们可视化其他运算(复杂乘法)的方式一致的方式。如果您实际上说过“这就是为什么负数乘以负数就是正数”,那么有人会轻易问到:“为什么复数乘法根本不涉及旋转?”如果有的话,这种可视化方法可以轻松地介绍复杂乘法涉及旋转的想法。

尽管一旦您习惯了“负数时负数就是正数”,这似乎很明显,但是将双重否定置于更广泛的背景下是很有趣的。如果我们一直期待 不是不是 等于 a,我们依靠 被排除中间律, 哪一个 并非所有人都接受 all the time.

2009年10月3日,星期六

数学老师在玩

Play博客狂欢节上的数学老师,第16版,位于 我想永远教书.

下届MT @ P博客狂欢节将举行 在这里数学娱乐 在2009年10月16日的两周内。

请发送您的意见书在 博客狂欢节网站,点击下面的图标或直接给我发电子邮件。截止日期是2009年10月14日,星期三。
狂欢节的重点是学前K-12数学,重点(顾名思义)是嬉戏和探索。这个博客是 仅适用于数学老师(顾名思义),但对任何玩数学的人都开放。

如果您不熟悉MT @ P,应该先浏览以下内容 第一版 , 在 让我们玩数学 从那里继续前进。