2009年9月29日,星期二

零是三角数吗?



尼尔·斯隆的 整数序列在线百科全书,每个认真(或休闲)使用整数序列的人都将其视为最终权威,并列出了三角形数字作为序列 A000217,并且明确地包含0作为三角数:
0、1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253、276、300, 325、351、378、406、435、465、496、528、561、595、630、666、703、741、780、820、861、903、946、990、1035、1081、1128、1176、1225, 1275、1326、1378、1431 ...
引起我注意的是,此博客上所有对三角数的引用(以及对所有其他 多边形数)省略了0并从1开始。浏览这些页面时,请记住这一遗漏-有时您可能希望在序列的开头添加零(但有时可能不是)。

我受到某种程度的安慰 维基百科数学世界 (与序列有关的其他8个权威机构)也从其三角形数字列表中省略了零。

这让我想起了一个古老的问题:

零是自然数吗?

将自然数的定义放到黑板上总是很危险的-您可能冒着让某些学生坚持认为您的定义是 错误, 错误, 错误 因为他们被告知自然数包括(或排除)零,而您的自然数不包括零。似乎包括Sloan的OLEIS在内的大多数资料都说0是 自然(请参见 0000)。

我怀疑(大多数)数学家对此并不在意-他们只是将术语“自然数”重新定义为恰好在使用它时需要的东西。如果需要零,则添加零,然后继续。

维基百科建议 当您遇到可能很重要的情况时,应在包含零的情况下使用$ \ mathbb {N} _0 $,而在不包含零的情况下使用$ \ mathbb {N} $(或无所谓) )。

三角形和自然数之间的比较不是虚假的。 维基百科 将三角形定义为自然的总和(我有点奇怪,我倾向于认为自然是 一维三角数)。如果这是您选择的定义,则可能不包括零,并且可以使用以下公式:
\ [t_n = \ sum ^ {n} _ {i = 1} i。\]
但是,如果要修复三角形+ 0的特定公式,只需调整索引:
\ [t_n = \ sum ^ {n} _ {i = 0} i \]
其他三角数公式呢?它们也都可以包括零吗?好吧,最简单的$ t_n = \ frac {n(n + 1)} {2} $在让$ n = 0 $时可以正常工作。

有时,当我们考虑它们与二项式系数之间的关系时,我们可能需要使用以下公式:

\ [t_n = \ left(\ begin {array} {c} n +1 \\ 2 \ end {array} \ right)\]

这可能会让您停顿一下,因为当$ n = 0 $时,我们似乎“超出范围”。幸运的是,我们有:

\ [\ left(\ begin {array} {c} n \\ r \ end {array} \ right)= 0 \ mbox {for} r> n\]

这正是我们所需要的。

就此博客上的帖子而言,表达三角形的唯一方法是,需要对其进行明显的修改才能适用于三角形+ 0。 产生功能:

\ [g(x)= \ frac {1} {\ left(1-x \ right)^ {3}} = 1 + 3x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3 + ... \]

就像在右侧系数中那样给出三角形。要为三角形+ 0生成函数,您需要将其修改为:

\ [g(x)= \ frac {x} {\ left(1-x \ right)^ {3}} = 0 + x + 3x ^ 2 + 6x ^ 3 + 10x ^ 4 + ... \]

乘以$ x $是生成函数 equivalent 转移索引,这是我们第一个公式必须要做的。

感谢Alexander Povolotsky揭露了这些问题。

2009年9月27日,星期日

均值和三角比


我最近注意到,前面的两个帖子包含一个相同的图表(令人惊讶的是这些事情如何发生)。该图的两个实例都来自古老的高中教科书,一本专门讨论几何,另一本专门讨论代数。的 第一 occurrence 该图的目的是提供对名称的解释。 “割线”和“切线”触发比率。该图 再次发生 为两种长度的算术,几何和调和方法提供几何构造。

如果我们合并图表的两种用法,我们将获得一些简单的身份,这些身份将长度的均值与某个角度的触发比率相关联。证明它们仅使用均值的定义,勾股定理和基本触发比率定义。

考虑两个长度, ab。假定$ a \ leq b $,并构造如图所示的段。 PQ 是长度 a公关 是长度 b.

从这里形成直径为 RQ 如图所示 O 作为中心,从该点构造与圆的切线 P。将切点标记为 S。角度 销售点 is marked $\theta$.

请注意,圆的半径为$ r = \ frac {b-a} {2} $,其算术平均值为 上午 , 几何平均数 gm和谐波均值 are given by:
\ [am = \ frac {a + b} {2} \]
\ [gm = \ sqrt {ab} \]
\ [hm = \ frac {2} {\ frac {1} {a} + \ frac {1} {b}} \]
正如在 较早的帖子,这些比例出现在长度 OP 是算术平均值,长度 PT 是谐波平均值,是长度 SP 是...的几何平均值 ab.

如果进一步考虑角度$ \ theta $来探索该图,您会发现$ am = r \ sec {\ theta} $, $ gm = r \ tan {\ theta} $和$ hm = r \ sin {\ theta} \ tan {\ theta} $(请注意,构造的算术平均值位于圆的割线上,而构造的几何平均值位于位于切线上)。还有,我们有
\ [\ frac {am} {gm} = \ frac {gm} {hm} = \ csc {\ theta} \]
也许这里没有什么太令人惊讶的,但是我喜欢两组重要的比率-三角比率和均值-通过简单的结构连接。

我在这张图上找到了一个变种 几何绘图教科书 William Minifie撰写的-它试图捕获相当多的构造比率(包括过时的 正弦)。



2009年9月23日,星期三

华莱士线的信封


我在看 Heinrich Dorrie's 基础数学的100个大问题,以及涉及令人惊讶的下摆线构造的问题53引起了我的注意。 问题是“确定三角形的华莱士线的包络线”,解决方案是“施泰纳的三点摆线”。

施泰纳次摆线的构造 非常适合GSP,并且还显示命名巧合如何导致奇怪的并置。

如果您用Google搜索“ Wallace Line”,您会发现Internet并不了解数学结构,而是有关 分割印度尼西亚的线 分为两个生态区,它们的动物群通常在一侧被描述为澳大利亚,在另一侧被描述为亚洲。这华莱士线是以 阿尔弗雷德·华莱士,博物学家以促使查尔斯·达尔文(Charles Darwin)发表他的著作而闻名 物种起源.

进一步搜索,您会发现我们关注的那条线更经常地称为Simson-Wallace线-该名称 might remind you of 华莱士·辛普森,因1936年与爱德华王子(前国王)爱德华的婚姻而闻名。


华莱士·辛普森(Wallace Simpson),而不是Simson-Wallace

除了名称之外,华莱士线的构造仅从外接圆的构造延伸一点,然后当我们查看所有华莱士线的族时,就会出现施泰纳次摆线。

三角形和外接圆
0.从其边已扩展的三角形开始
1.构建 垂直平分线 三角形的边
2.构建 周围中心 作为等分线的交点
3.构建 外接圆, C,其中心为外接中心,并且周长与原始三角形的顶点交叉。


Simson-Wallace(或普通的Wallace)生产线
4.选择一个点 P 在外接圆上 C
5.形成三行 P 垂直于每一侧。
6.排成一行, w,  穿过每个垂直线与其各自侧面的交点-这就是华莱士线。



信封和“ Steiner摆线”
当点P绕圆移动时,我们想探索华莱士线族。在GSP中,我们可以使用“轨迹”结构来做到这一点(我认为线族通常称为“铅笔“ 而不是 ”轨迹”,而后一个术语通常保留给点族,但这种区别可能过时了。
7.选择华莱士线, w,重点 PC
8.构建由 wP 移动 C


用于构建的GSP文件是 这里.
有关Simson-Wallace线的一些很好的描述,并且可以在下面找到此构造 切结Wolfram Mathworld。在NCTM照明站点上进行互动活动以构建Simson-Wallace Line 这里.

折纸多一点



这只是一个脚注 较早的帖子 on origami.

的re is a really nice TED演讲人:Robert Lang 他在其中解释了为什么我们喜欢使用数学来解决问题(例如,如何用腿制作纸虫):它使我们让死了的人为我们工作。比“站在巨人的肩膀上”的比喻更直率,但想法相同。有类似的演讲 这里,由MAA提供。 The 在折页之间 最近指出了一个不错的在线国家地理杂志 文章博客文章 在折纸上,这些点涉及到Lang讲授中发展得更为充分的点。

最后,这是三篇折纸博客: 的 Fitful Flog, 折纸 Tessellations和 学生Flotsam和Origami Jetsam.

2009年9月15日,星期二

罗森克兰茨,吉尔登斯滕和赌徒的谬误



汤姆·斯托帕德的戏的开场 罗森克兰茨和吉尔登斯滕 掷硬币并注意到“概率法则”似乎已被暂停(您应该查看电影的开场场景 这里,或阅读剧集的开头 这里)-硬币总是浮在水面上。 人物经历的事情肯定违背了常识,但也许 常识是(至少部分是)错误的。

要问的一个好问题是,如果硬币翻转恰好在头和尾之间交替进行,罗森克兰茨和吉尔登斯特恩会不会同样感到震惊?他们本来应该是,但是如果他们的心理像大多数人一样,那么可能需要更长的时间来弄清楚这个问题。在头与尾之间交替的“完全公平”硬币与总是出现正面的“完全不公平”硬币一样荒谬(也是不太可能),但似乎更接近我们对硬币应如何表现的期望。

在他的书中 无能, 约翰·艾伦·保罗斯 提出这个问题(作为比赛 并指出,像我们的主角一样,大多数人都希望硬币翻转在头和尾之间均匀分布(但可能并非如此)。 Paulos设置了这样的问题:
想象一下彼得和保罗两个球员,他们每天掷一次硬币并下注 分别在头和尾上。彼得在任何给定时间获胜 直到那时为止,人们都有更多的警惕,而如果有’ve been more tails.
您是否希望Peter或Paul拥有长期的赢(或输)连胜纪录?要么 您是否希望他们通常在成为赢家之间交替(或 失败者)? Paulos继续:
彼得和保罗在任何时候都有同等的优势,但是 无论谁领先,几乎整个时间都可能领先。
错误的期望结果应该或多或少交替以“取平均值”的错误期望有时被称为(错误的)“平均值定律”或 赌徒的谬误。 (真) 大数定律,它断言对于一个大样本,正面的数目将大致等于尾部的数目,并不表示在出现一连串的尾部之后,正面的可能性更大,反之亦然。

下图显示了一场100次硬币翻转的游戏-第一个图中明显显示了大数定律(回归均值),而第二个图(从头数中减去尾数)没有显示均值定律的证据(大多数时候领先)。




通过破坏我们的期望,这 简单的实验提供了片刻 失衡,而且,正如Paulos所建议的那样,它可能有助于我们认识到我们不应该过分强调游戏,体育,金融或生活中的胜利或失败。 occurrence.

一个用于探索投币游戏模拟的Fathom文件是 这里,并且包含图和图表的完整文件为 这里.

2009年9月10日,星期四

几何编程和三角函数


思考如何与动态几何程序交互的最有用方法之一是将“草图绘制”考虑为 程式设计 (考虑草图的一种无益方法是将其视为 画画)。 R. Nicholas Jackiw和William F. Finzer在 通过几何编程:
用GSP构造草图就是编程,即直接构建将输入映射到输出的功能系统。草图的不受约束的元素构成了程序的输入或参数。草图各部分之间的关​​系...对应于程序的生产语句。在GSP的情况下,生产语言的语义由传统的欧几里得语结构控制。
普惠制系统的显着特征来自对程序结构(即其“源代码”)及其输出是同构的认识。当学生完成以上示例中的质心构造的规范或编码时,他或她同时找到了一个特定的质心。通过操纵三角形的顶点(程序的输入),学生可以产生进一步的输出。重要的是,这些操作是在与构造初始草图的动作相同的范围内(即平面几何对象)执行的。
和谁玩 摆线结构 最近提醒我,Sketchpad的探索如何很好地帮助使圆周运动和触发功能之间建立了联系。 例如,草图 这里 包括一个受到启发的 简单谐波运动 演示,并探讨 lissajous人物.

演讲中提供了一个很好的概述,其中包括一些类似的草图, 特里格来了, 由去年NCTM年度会议的Scott Steketee撰写。

2009年9月9日,星期三

被忽略的序列


在查看一些旧文本(主要是1930年代)后,我遇到了一种序列,它与熟悉的算术和几何形式一起曾经是标准课程的一部分。 据我所知,这第三个序列类型,谐波序列,已不再是任何标准高中课程的一部分(如果我错了,请纠正我)。

算术序列在项\ [t_ {n} = t_ {n-1} + d \]之间有一个共同的区别
几何序列的公共比率\ [t_ {n} = t_ {n-1} r \]
调和序列具有定义性质,即其项的倒数具有共同的差异(即,它们的倒数形成算术序列)。
\ [\ frac {1} {t_ {n}} = \ frac {1} {t_ {n-1}} + d \]
要么
\ [t_ {n} = \ frac {t_ {n-1}} {1+ dt_ {n-1}} \]
当您将第一个项和差设置为1时,您会得到一个谐波序列,该序列被称为 谐波序列,即:
\ [1,\ frac {1} {2},\ frac {1} {3},\ frac {1} {4},... \]
如果 a, b, c 是算术序列的三个三项,中间项 b 是...的“算术平均值” ac,通常是我们所说的“均值”或“平均值” ac:\ [b = \ frac {a + c} {2} \]同样,如果 a, b, c 是几何序列的三个项,那么 b 是...的“几何平均值” ac:\ [b = \ sqrt {ac} \]那么,如果 a, bc 形成谐波序列,然后 b 是...的“谐波平均值” aC: \ [b = \ frac {2ac} {a + c} \]
一开始可能令人惊讶的是,如果您有两个数字 ac,然后是 ac 形成一个几何级数(或换句话说, ac 也是谐波的几何平均值和 ac)。

我看过的代数教科书没有提出调和方法或调和序列的任何应用(练习仅限于公式运算),调和序列似乎没有提供非常适用的“增长模型”,这是另一种方法一般介绍序列。调和关系出现 frequently 然而,在几何学上,一个文本确实对这三种方式都具有很好的构造(请参见下文)。



在此构造(GSP文件 这里), O 是圆的中心,并且 公关 是经过的割线 O. SP 与圆相切 ST 与割线成直角 公关。如果我们让 a = PQb = 公关 PO 给出的算术平均值 ab, 聚苯乙烯 给出其几何均值和 PT 给出其谐波平均值。 (证明为练习:)

我找不到在Google图书中查阅过的文字,但是对于如何显示谐波序列的其他示例,请参见以下内容:
H. S. Hall,S。R. Knight, 高等代数:学校基础代数的续集。麦克米伦(Macmillan),1894年。 (page 47)
O.洛奇 简单的数学,主要是算术...,麦克米伦(Macmillan),1906年。(第339页)

2009年9月1日,星期二

加扰分形


帖子顶部的图片显示了从“扰码器”构造中获得的曲线系列的前五代,我在本文中对此进行了简要描述。 最后的帖子。这些曲线由等式生成
哪里 n 是生成(从0开始),并且表达式中系数的符号为 y 被选择产生家庭的不同分支。在上图中,如果选择所有正系数,则曲线在最左侧,而如果对第一项选择正,但对其余项选择为负,则在最右侧。

选择交替的+和-号所形成的曲线与开始进行“扰码”的关系最密切。 此选择使每个圆都以与该圆相反的方向旋转 preceded 并生成位于上图右上方的“螺旋桨”曲线。

表达家庭这一分支的一种方法是

普惠制 在最初的几代中就使用过 n,我求助于写一个简短的(令人惊讶的简短) 处理中 该程序为0至7代和20代提供了这些图片:

查看上图和下图,您可以看到 n 去无穷大 分形的 沿每个螺旋桨叶片显示出良好的自相似性。

具有用于绘制分形的Processing源代码的文本文件为 这里.

更新资料:关于上表最左侧曲线的帖子(“脑部分形”)为 这里.