尼尔·斯隆的 整数序列在线百科全书，每个认真（或休闲）使用整数序列的人都将其视为最终权威，并列出了三角形数字作为序列 A000217，并且明确地包含0作为三角数：
0、1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253、276、300， 325、351、378、406、435、465、496、528、561、595、630、666、703、741、780、820、861、903、946、990、1035、1081、1128、1176、1225， 1275、1326、1378、1431 ...引起我注意的是，此博客上所有对三角数的引用（以及对所有其他 多边形数）省略了0并从1开始。浏览这些页面时，请记住这一遗漏-有时您可能希望在序列的开头添加零（但有时可能不是）。
我受到某种程度的安慰 维基百科 和 数学世界 （与序列有关的其他8个权威机构）也从其三角形数字列表中省略了零。
这让我想起了一个古老的问题：
零是自然数吗？
将自然数的定义放到黑板上总是很危险的-您可能冒着让某些学生坚持认为您的定义是 错误, 错误, 错误 因为他们被告知自然数包括（或排除）零，而您的自然数不包括零。似乎包括Sloan的OLEIS在内的大多数资料都说0是 不 自然（请参见 0000）。
我怀疑（大多数）数学家对此并不在意-他们只是将术语“自然数”重新定义为恰好在使用它时需要的东西。如果需要零，则添加零，然后继续。
维基百科建议 当您遇到可能很重要的情况时，应在包含零的情况下使用$ \ mathbb {N} _0 $，而在不包含零的情况下使用$ \ mathbb {N} $（或无所谓） ）。
三角形和自然数之间的比较不是虚假的。 维基百科 将三角形定义为自然的总和（我有点奇怪，我倾向于认为自然是 一维三角数）。如果这是您选择的定义，则可能不包括零，并且可以使用以下公式：
\ [t_n = \ sum ^ {n} _ {i = 1} i。\]
但是，如果要修复三角形+ 0的特定公式，只需调整索引：
\ [t_n = \ sum ^ {n} _ {i = 0} i \]
其他三角数公式呢？它们也都可以包括零吗？好吧，最简单的$ t_n = \ frac {n（n + 1）} {2} $在让$ n = 0 $时可以正常工作。
有时，当我们考虑它们与二项式系数之间的关系时，我们可能需要使用以下公式：
\ [t_n = \ left（\ begin {array} {c} n +1 \\ 2 \ end {array} \ right）\]
这可能会让您停顿一下，因为当$ n = 0 $时，我们似乎“超出范围”。幸运的是，我们有：
\ [\ left（\ begin {array} {c} n \\ r \ end {array} \ right）= 0 \ mbox {for} r> n\]
这正是我们所需要的。
就此博客上的帖子而言，表达三角形的唯一方法是，需要对其进行明显的修改才能适用于三角形+ 0。 产生功能:
\ [g（x）= \ frac {1} {\ left（1-x \ right）^ {3}} = 1 + 3x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3 + ... \]
就像在右侧系数中那样给出三角形。要为三角形+ 0生成函数，您需要将其修改为：
\ [g（x）= \ frac {x} {\ left（1-x \ right）^ {3}} = 0 + x + 3x ^ 2 + 6x ^ 3 + 10x ^ 4 + ... \]
乘以$ x $是生成函数 equivalent 转移索引，这是我们第一个公式必须要做的。
感谢Alexander Povolotsky揭露了这些问题。
