2009年6月23日,星期二

自我回避

我们的探险之旅不过是游览,并且在傍晚再次来到我们出发的旧壁炉旁。半程步行只是在追回我们的脚步。我们应该本着不朽的冒险精神,走近路,坚韧不拔,永不回头,准备将我们的防腐之心发还给我们荒凉的王国。如果您准备离开父母,兄弟姐妹,妻子儿童和朋友,再也看不到他们-如果您已偿还债务,立了遗嘱并解决了所有事务,自由的人-那么您可以散步了。
步行,作者:亨利·大卫·梭罗(Henry David Thoreau)

如果您编写一个程序来生成类似于Thoreau所描述的那样的自动规避随机游走,我认为打击您的第一件事就是它们趋向于多短-您很快就将自己封闭在已经走过的道路上跟着。很容易想象无限长的步行路程(一条直线,或者稍微呈锯齿状的变化),但是这种情况似乎很少见。

似乎将自我回避的约束放在散步上,使它成为一个更好的研究对象。根据您应用的其他限制条件,您实际上可以枚举给定大小的步行路程(请参见 数学世界 entry).

如果让步道运行直到他们无法走下去,您可能会注意到,对于某些步道,您可以知道起点在何处(未封闭)和终点在何处(已封闭)。有时,您可能无法通过查看路径来区分它们(下面的步行在哪里开始,在哪里结束?)。



单击下面的小程序将创建一个随机的助行器,它们彼此躲避-在选定小程序时按一个键将清除屏幕。



该浏览器没有Java插件。 在此处获取最新的Java插件。





小程序是使用以下程序构建的 处理中。也可以看看 这个帖子 在Fathom和TinkerPlots中实施随机游走(非自我规避)。

2009年6月19日,星期五

仅计算

但是,我们甚至不知道单个彗星的数学漫游的含义吗?
-罗伯特·佩恩·沃伦, 经过不安的夜晚

数学经常因批评这一点而受到批评。它描述了各种现象,但是以某种方式无法提供对可能隐含在其提供的形式描述之后的含义的深入了解。沃尔特·惠特曼 当我听到学过的天文学家的声音 向我们表明,这是对浪漫情感的特别冒犯:
当我听到学习’d astronomer;
当证明,数字,摆在我面前的列中时;
当我看到图表和图表时,要对其进行添加,划分和度量;
当我坐在那里听到天文学家的声音时,他在教室里热烈地掌声,
不知不觉多久,我变得疲倦和不适。
直到升起并滑出,我才漫步’d off by myself,
在神秘潮湿的夜空中,时不时地,
看’在星星上默默地沉睡。
塞内卡(Seneca)在惠特曼(Whitman)之前很久就对数学提出了批评,因为数学没有抓住要点,并且未能在真正重要的地方提供指导:
哦,几何奇观!您的几何学家可以计算圆的面积,可以将任何给定的形状缩小为正方形,可以说明分隔星星的距离。在测量方面,没有什么超出您的范围。好吧,如果您是这样的专家,请衡量一个人的灵魂。告诉我那是多大或多小。您可以定义一条直线;如果您不知道生活中的直率对您有什么用?
- 塞内卡,来自 字母LXXXVIII
就浪漫(或道德)的敏感性而言,数学总比错误要糟糕。它的形式描述扼杀了事物的真实含义,并使它们变得非个人化。它不仅不会唤起个人,也不需要“个性”-这仅仅是计算:适合机器的工作,而不是思考人类的工作。如 叔本华 不屑一顾地指出,
算术是所有心理活动的基础,这是事实,它是唯一可以通过机器完成的方法。以目前在英国如此普遍使用的清算机为例,仅是为了方便起见。但是,所有finitorum和infinitorum分析基本上都是基于计算的。
这两个思想,数学都错过了事物的“更深层含义”,并且不需要“个性”是紧密相关的。在现象的表面下必须有潜在的或隐藏的含义的思想构成了我们对世界的许多思考,并与自我概念紧密相关。正如我们具有内在的个性和身份一样,也要去天堂(正如我们在上面引用的诗歌中所看到的)。因此,否认世界上超出可以正式描述的意义的含义似乎等同于否认个人身份。

西蒙妮·威尔(Simone Weil)在接受数学的形式和非个人性质的同时,对事物的看法也有所不同。对她来说,个人的想法分散了注意力,使我们无法真正理解。数学并没有错失这一点,而是提供了一种超越个人能力的手段:
格里高利圣歌,罗马式建筑,伊利亚特(Iliad)并不是几何学的发明,因为对于这些人来说,几何学的产生和向我们提供了个性的体现。
。 。 。
保留或丢失达到此级别的人员的姓名的机会纯属偶然;即使记住他们,他们也变得匿名了。他们的个性消失了。真相与美丽停留在非个人和匿名的这个层次上。

如果一个孩子在做一笔和错的事,那错误就印有他的个性。如果他完全正确地计算了总和,那么他的个性根本就不会参与其中。完美是非个人的...
上面的引用以许多方式代表了一种老式的数学观点,现在通常被认为是极富创造力的,而不是机械的。然而,即使在创造力方面,数学似乎也混淆了我们对创造力含义的通常理解,因为数学创造力以某种方式将人与非人格结合在一起。单纯的计算有一些特殊而神秘的事物,它使我们想知道计算时我们在做什么,使我们想知道是谁在进行计算,并使我们想知道计算如何与世界联系起来。

2009年6月12日,星期五

乘法表彩虹


乘法表作为死记硬背的象征而受到了极大的侮辱,它提出了应该被认为是数学探索和娱乐最容易接近的结构之一。在其中可以找到星星(描述为 这里 ),令人惊讶的关系( 这里 )和彩虹。

如果您将表格的范围分为几组(例如,您可以将范围0-100分为7组,以对ROYGBIV进行彩虹着色),然后根据这些内容在表格中进行着色,您会发现这些组形成彩虹般的曲线。

事实证明,颜色带形成双曲弧。考虑一下表中的条目 y*x = k,在哪里 k 是代表特定颜色的常数,并且 xy 是相乘以产生特定值的项(列和行值) k; 解决 yy = k / x, 双曲线的公式。


这些图片是在Fathom(底部两个)和TinkerPlots(顶部一个)中生成的。下图所示的彩虹有一个细微的错误-它具有正确的颜色范围,但是Fathom将它们的排列顺序与在自然彩虹中观察到的顺序相反。



用于生成这些图形的Fathom和TinkerPlots文件是 这里 .

28-08-2012更新-请参阅 这个相关的帖子.

2009年6月8日,星期一

多边形和乘法表

我受到启发去看 星多边形 就像上面看到的一个 这个帖子 由David Vancouvering,由 数学老师在玩。似乎有很多方法可以使用这些多边形图来探索乘法和除法事实。

基本上,学生通过以下方式探索乘法表中数字的模式:

0.从下面的十点圆图开始:


1.在10x10乘法表中选择一行(例如,显示6次表的行);
2.将铅笔放在10点圆图上的“ 0”处;
3.仅查看行中每个条目的最后一位数字,画一条线到具有该数字的点(画一条从0到6的线);
4.继续直到您将线画回到零(画线6到2、2到8、8到4、4到0)。

生成相同图的另一种方法是:

1.选一个号码 n (say 6);
2.将铅笔放在10点圆图上的“ 0”处;
3.顺时针移动,跳过计数 n (省略 n-1点-在此示例中,跳过5个点);
4.依次画出落在点之间的连接线,直到达到零为止(画线0到6、6到2、2到8、8到4、4到0)。您登陆的号码将与 n 时间表(按顺序)。

当模块化算术成为小学数学的标准部分时,这些图可能在60年代和70年代的“新数学”课程中更为常见。在这里,在查看数字的最后一位时,我们正在评估“ mod 10”的倍数,或者,在(旧)新数学中使用的语言,我们正在执行“ 10小时制的时钟算术”。 ”

我们可以观察到哪些内容?
1和9给出多边形{10}(十边形)
2和8给出多边形{5}(五边形)
3和7给出多边形{10/3}(10个折点“以3跳过”)
4和6给出多边形{5/2}(五角星形)
5给出了“退化”多边形{2}(digon)
10给出“退化”多边形{1}(一个点)
这突出显示了末尾数字之间的良好对称性 n 和 10-n 乘法表。

对于给定 n,其“最后一位数字多边形”有几个点?这可能是激发“最小公倍数”想法的好方法,因为您从中获得的多边形的顶点数量 n 是(谁)给的 v = lcm(n, 10)/n。通常,如果您通过跳过计数来查看多边形 n 周围 d点圆,得到的顶点数是 v = lcm(n, d )/ n.

2009年6月3日,星期三

Halmos格言

保罗·霍尔莫斯(Paul Halmos)发表这些报价 (1916 -2006) 灵感来自于 the film 我想成为一名数学家 并阅读了Paul Halmos的一些文章。 这些引用大部分来自文章“学习教学的问题”,该文章是Halmos在1974年AMS-MAA会议上发表的演讲的抄本。
教学是一门短暂的学科。就像拉小提琴一样。作品结束了,不见了。对学生进行了教学,然后完成了教学。

最好的学习方法是做事。最糟糕的教学方式就是说话。

读书的最好方法是……要确保侧面有铅笔和纸,是让铅笔忙在纸上,把书扔掉。

数学实际上就是在解决具体问题。

从培养优秀学生的角度来讲,一个不好的讲师可以成为一名好老师的方式,是一粒沙粒可以生产出珍珠生产的牡蛎的方式。

最好的学习方法是去做-去问,去做。

不要宣扬事实-刺激行为。