2009年3月30日,星期一

修补匠中的帕斯卡三角形


帖子 在这个谈论Pascal三角形的博客上,所有使用的图表都带有 修补程序图 。除了其作为教育软件的价值外,TP还适用于绘制此类图(以及其他图如所描述的多边形图) 这里 ),这些是通过计算得出的。

找到了可以绘制这些图的TinkerPlots文档 这里 。帖子顶部的图像是使用此文档创建的,并显示了Pascal三角形中的一些模块化模式(针对mod 2和mod 7)。

2009年3月26日,星期四

皮连续六次

如果您查看“ pi颜色图 并看到双色球基本走势图图表新浪爱彩垂直条纹,您看到的是一串重复的数字,例如7777、00000或222。

左上方出现双色球基本走势图图表新浪爱彩:


像这样的序列曾经是激发有关被排除中间律的讨论的重要例子。 根据被排除的中间部分的定律,诸如“ pi的十进制扩展包含序列7777”之类的语句为true或false。但是,当您讨论从未被计算过,可能从未被计算过的东西时,(向建构主义者)建议,该陈述可能既非真假,也可能序列7777有点像薛定inger的猫,既不存在也不存在不存在。

既然已经计算出pi的数字达到惊人的长度,并且存在数学方法来揭示pi数字序列的性质,那么pi的扩展不再是建构主义思想实验的理想候选者。甚至一些关于pi的十进制扩展的奇特问题,例如 浏览器序列,已解决。仍然可以提出关于pi扩展的问题,这些问题说明了建构主义的问题,但是它们需要比过去更加复杂。

尽管如此,我还是决定更仔细地观察在pi扩展早期(相对)发生的这个小序列。上面提到的pi颜色图中的条纹对应于序列999999,从数字763开始到数字768结束。在pi的前2281个数字集中观察到这一点。

我决定进一步推动该软件,并将10000位数的pi加载到文档中。 (将pi的前10000位数字格式化为Fathom或TinkerPlots的文件是 这里 。)下图显示了黑色为9的数字,所有其他数字为空白-点是9的单次出现,而垂直条纹是重复9的游程。


使用Tinkerplots的runLength函数,我们可以查看各种长度的运行频率,并轻松识别更长的运行时间。

即使有10000个数字,在数字763处的999999序列仍然是最长的重复数字序列。前10000个数字中的其他亚军序列是2222的两个实例,双色球基本走势图图表新浪爱彩8888的单次运行以及四个不同的7777。

有趣的是,前数字计算机pi扩展器John Wrench的ob告今天发布在 MAA Math DL网站

这篇文章底部的图显示了pi的前10000个数字的十进制扩展中的偶数和奇数数字的分布,其灵感来自于 双色球基本走势图图表新浪爱彩类似的情节 来自Wolfram Math World。 


2009年3月23日,星期一

误报

有很多具有反直觉的解决方案的概率问题。诸如此类的问题以及它们如何破坏常识,是审视概率的最佳理由之一。 理论。一系列令人毛骨悚然的问题是 蒙蒂·霍尔的问题 . 另双色球基本走势图图表新浪爱彩是与条件概率有关的。这些的很好的例子就是问题 涉及提供“假阳性”结果的医学检测。

仿真是探索这些问题的一种方法,它所揭示的不仅仅是单纯的理论概率计算。模拟的结构可以反映出原始问题的结构的有趣方面,并且结果揭示了当您仅自己计算理论概率时就不明显的可变性。

这篇文章展示了双色球基本走势图图表新浪爱彩“误报”概率问题和  捉摸 模拟它。此问题改编自第四次 罗斯的概率论第一版(第75页):

实际上,在进行某种血液检查时,实验室血液检测可以有效地检测出95%。但是,测试还会产生“ false 百分之一的健康人获得“阳性”结果。(也就是说, 某人经过测试,他们被测阳性的概率为0.01 即使他们真的没有这种疾病。)如果0.5% 人口实际患有这种疾病,双色球基本走势图图表新浪爱彩人的概率是多少 测试结果呈阳性的人实际上患有这种疾病?


这是可用于构建Fathom的属性定义 此问题的模拟:


这些属性足以运行模拟,但最好还添加以下度量:



要运行模拟,您可以添加新案例(尝试〜500)。使用措施 收集,您可以重新运行此实验数百次(收集 100次措施将500人实验重新运行100次)。

如果您要手动计算理论概率,则有助于编写 降低所有概率(填空...):


它还有助于可视化树图中的概率:

对于条件概率,使用乘法规则来填充树的外部提示:
这样做的好处是您可以看到树形图的使用方式 计算理论概率的方法与 模拟中的“ if”语句。

可以找到实现此模拟的Fathom文档 这里 .

2009年3月19日,星期四

讲解

这里的难事不是要深入地面。不,是 认识到摆在我们面前的地面是地面。

因为地面不断给我们更大深度的幻象, 当我们寻求实现这一目标时,我们会不断寻找自己。

我们的疾病是要解释的一种。

路德维格·维特根斯坦, 谈数学基础 ,第VI-31节


所以逻辑 的解释要求回归广告的原理 无限:没有理由停止推理的加倍。 
。 。 。
没有必要通过补充来弥补丧失理解能力。在 相反,这种无能为我们提供了结构上的虚构 世界的解释性概念。是施暴者需要 无能为力,而不是相反;是他构成了 如此无能为力。首先要向某人解释一些事情 他自己无法理解它。在成为该行为之前 教育家,讲解是教育学的神话,是世界的寓言 分为知性和无知者,成熟者和不成熟者, 有能力和无能力,有才智和愚蠢。

雅克·兰西埃(Jaques Ranciere) , 无知的校长:知识解放的五个教训 


数学教育者通常花费大量时间进行解释。标准观点认为,最好的教育者是善于解开和分解困难概念的人。但是,正如上面的引用所暗示的那样,有些人认为强调解释既是数学又是教育的问题。对于维特根斯蒂安(Wittgenstien)来说,对数学解释的永恒追求导致了双色球基本走势图图表新浪爱彩基本的难题,而远离了数学实践的现实。 Ranciere用一种导致智力解放的形式化来识别解释的过程。这种逆势观点表明,数学本身以及对数学的学习只有在做数学的过程中才能经历和揭示。

小数到小数

一些学生在学习如何将重复的小数转换为相应的分数(有理数会产生终止的小数或不终止的重复的小数)时,首先对操纵方程式有所了解。使用分数和小数本身总是好的,但是对于这种简单的计算,还有两个不错的附带好处:首先,您可以看到令人惊讶的结果 0.999 ... = 1,其次,它有助于回答“哪个分数导致 终止小数,并导致重复小数?”更妙的是,这引发了其他问题。

1.计算-将小数转换为分数

重复的小数,例如 0.633633... 通过写出等式可以写成分数 x =  0.633633 ...,然后对其进行处理,以消除无限长的重复部分。通过将方程式乘以10的右方幂来移位数字,然后减去原始方程式即可完成操作。


也许您想对小数点进行更复杂的重复小数运算。该过程基本保持不变:获得两个具有相同“小数部分”的方程,可以通过相减来消除它们。您可能必须移动两次才能完成此操作。这是双色球基本走势图图表新浪爱彩例子:


2.显示0.999 ... = 1

该学校的数学结果已成为互联网上讨论的热门话题。尝试在“ 0.999 = 1”上进行搜索,然后查看发现的内容。 


3.哪些部分终止,哪些继续进行?

小数有时可以给我们双色球基本走势图图表新浪爱彩终止的小数,有时可以给我们双色球基本走势图图表新浪爱彩重复的小数。有理由怀疑哪种小数导致每种小数。

考虑以上步骤可能会给您双色球基本走势图图表新浪爱彩思考该问题的思路。

如果我们有双色球基本走势图图表新浪爱彩情况 x = p/q 是双色球基本走势图图表新浪爱彩终止的小数,表示必须有10的幂,例如10 ^n,如果我们乘以 x by  我们可以完全消除小数(即乘以10 ^n 给我们双色球基本走势图图表新浪爱彩整数)。这只有在分母的情况下才会发生 q divides 10^n。这将需要 q 形式为(2 ^m)(5^k),其中的指数 mk 是非负整数(可能为零),并且 n = max(mk )。

所以,一小部分 p/q 当且仅当分母的形式为(2 ^m)(5^k)。因此,诸如1 / 2、3 / 5、9 / 25、7 / 8、3 / 200之类的分数都终止,例如,形式为1 /p 哪里 p 是不是2或5的素数,将是非终止和重复的。

询问有关小数或其重复部分可以有多长时间的问题是合理的。对于非终止重复小数,关于重复部分长度的问题很难回答。

2009年3月13日,星期五

该博客的资源

我已经开始为此博客发布一些资源文件 这里 。到目前为止,数量不多-但为了纪念Pi Day(明天),提供了“ Pi颜色图” TinkerPlots文件  as described in 这个帖子 .

2009年3月9日,星期一

蒙蒂·霍尔与三名囚犯

布莱恩·海斯( http://bit-player.org) 最近提供了一些证据,表明仍然有很多人因蒙蒂·霍尔(Monty Hall)问题而感到困惑(了解更多 这里 )。

蒙蒂·霍尔(Monty Hall)问题,也许是最著名的反直觉概率问题,在杰弗里·罗森塔尔(Jeffery Rosenthal)的著作中得到了很好的对待。 被闪电击中:概率的好奇世界,而且在Mark Haddon的小说中也得到了很好的解释(也许更好) 狗在夜间的好奇事件。罗森塔尔教授对蒙蒂·霍尔进行了进一步的解释 这里 .

我刚刚在马丁·加德纳(Martin Gardner)的书中找到了该问题的替代版本 第二本《科学难题》和《转移美国人心科学》 (也由企鹅出版社出版,其形式与 更多数学难题和转移)。在“概率和歧义”一章(该书的两个版本中,第19章)中,加德纳都描述了这三个囚犯的问题。这是问题的简要说明:

三名囚犯A,B和C在单独的牢房中被判处死刑。州长随机选择了其中一名予以赦免。囚犯A发现要释放双色球基本走势图图表新浪爱彩囚犯后,乞求看守让他知道将要被处决的其他囚犯的身份。 “如果要赦免B,请给我C的名字。如果要赦免C,请给我B的名字。如果我要被赦免,请掷硬币决定是给B还是C命名。”

监狱长告诉A将执行B。囚犯A很高兴,因为他相信自己的生存概率已从1/3增加到1/2。囚犯A秘密地告诉C消息,他也很高兴听到消息,认为他的生存机会也增加到1/2。

A和C是否正确?不能。囚犯A存活的可能性仍然是1/3,而囚犯C接受赦免的可能性是2/3。

很容易看出3名囚犯的问题与Monty Hall问题相同。看到这种不同形式的问题可能会帮助那些继续为此奋斗的人。

这是模拟3个囚犯问题和Monty Hall问题的不错的活动 捉摸 -尝试一下,并确认令人惊奇的结果,即“第二名囚犯”被赦免了2/3的时间,而在2/3的情况下获胜的帷幕并不是您首先选择的。

有许多方法可以编写这些模拟。以下是实施三名犯人的法塔姆行动的属性和公式:


下表(单击以查看大图)显示了针对Monty Hall问题的单独仿真。在这里,我们假设三个窗帘“ 1”,“ 2”和“ 3”,其中双色球基本走势图图表新浪爱彩在后面。您选择双色球基本走势图图表新浪爱彩,然后Monty在其他窗帘之一的后面显示内容(不显示带有奖金的窗帘)。在游戏中,您可以选择切换尚未显示的窗帘。



创建属性后,您可以通过向集合中添加数据(集合->新案例...),越多越好。

顺便说一句,加德纳(Gardner)对A,B和C的使用使我想起了斯蒂芬·莱科克(Stephen Leacock)的“A,B和C:数学中的人为因素 。”

附录

快速搜索显示Monty Hall问题和“三名囚犯”之间的联系是众所周知的(请参阅Wikipedia条目,网址为 蒙蒂·霍尔 三名囚犯 ),并且两者都是旧问题(称为“ 贝特朗的盒子悖论.

除多项式-网格方法

更新资料 :尝试示例生成器页面 这里 .

学生通常会学习使用以下方法对多项式进行除法 长除法或合成除法。这篇文章是关于另一种划分多项式的方法, “网格”方法。尽管某些学校使用了这种方法,但我在任何教科书中都没有找到它(如果您知道的话,请告诉我)。

网格方法使多项式除法成为一种有趣的计算-几乎类似于SUDOKU的过程。这里的娱乐性挑战是掌握该方法,并说服自己该方法在所有情况下均有效(哪种情况下效果较好,哪种情况下更难?)。

在处理多项式网格除法之前,您需要熟悉多项式网格乘法。它是熟悉的“代数平铺”操作的象征性模拟,因此,如果您使用过这些,应该是相当熟悉的。

多项式网格乘法

在多项式网格乘法中,两个因子排列在网格的边缘上-这些因子的项数决定了组成网格的水平线和垂直线的数量。

通过用行和列的术语乘积填充网格的单元格,然后对网格内部的所有内容求和,可以找到整体乘积。 

多项式网格乘法为我们所做的事情提供了一种明确的方式来跟踪分布属性:每个逐项乘积都有自己的单元格。

在下面的示例中,两个因子沿着网格(1)的边缘放置。双色球基本走势图图表新浪爱彩因素提供行标题,另双色球基本走势图图表新浪爱彩因素提供列标题。然后,每个单元格都填充有来自行和列(2)的项的乘积。最后,将单元格加在一起(如组合术语)以找到最终产品(3)。如果因素的条款按照相同的顺序放置( x,在我们的示例中),并且没有遗漏的术语,然后沿着网格的对角线找到乘积的相似项。


多项式网格划分

多项式网格除法的工作方式与多项式网格乘法相同,但是反之-我们首先要知道双色球基本走势图图表新浪爱彩因素(沿着网格的边缘放置),然后知道我们想要的乘积是什么(而不是确切知道乘积是什么)在表格中“拆分”)。利用这些知识,我们可以向后工作,一次将双色球基本走势图图表新浪爱彩单元格填充到网格和顶部边缘,直到完成。 

考虑下面的示例。在(1)中,我们创建双色球基本走势图图表新浪爱彩空分母,其中分母(除数)起着因素之一的作用。从此 涉及双色球基本走势图图表新浪爱彩3次多项式除以1次多项式,我们知道另双色球基本走势图图表新浪爱彩因子(商)必须是2次。这使我们能够创建具有正确大小的网格。在步骤(2)中,我们使用股息的最高幂(分子)开始填充网格-我们知道27x^ 3必须在左上方。反过来,这告诉我们第一列条目必须为9x^ 2(这样行和列乘以27x^ 3)。在步骤(3)中,我们使用它来填充所有第一列, 9x^ 2按行条目的条件。



在步骤(3)中,现在有双色球基本走势图图表新浪爱彩二次项-18x^ 2。但是我们从分红(分子)知道,在最终答案中,我们实际上想要9x^ 2。因此,二次对角线上的其他项必须为27x^ 2,所以整个对角线的总和为 9x^2 .  在步骤(4)中填写此内容将告诉我们第二列中的所有条目应该是什么(步骤5)。现在我们有双色球基本走势图图表新浪爱彩线性入口-18x,我们知道我们需要添加15x 这样总和为-3x (step 6).



15岁 x 告诉我们,最高条目必须为5(5和3的乘积x gives us 15x)。在第7步中填写此内容可以使我们完成表格,并且可以看到,最终常量输入是-10,这是希望的。现在,网格已经填满,并且它与红利相匹配,我们可以从顶部读取答案-我们发现的因素是我们希望计算的商。

这种方法实际上比起初看起来要容易,并且当所有步骤都在同一网格上执行时,它非常紧凑。

这是另双色球基本走势图图表新浪爱彩示例供您试用。




在这两个示例中,该部门运作良好-没有余数。在我们分开的情况下 f/gg 不是双色球基本走势图图表新浪爱彩因素 f,以及 g 小于度 f,存在多项式余项,其阶数严格小于的 g。例如,当 g 是线性函数(1级), f/g 可以有双色球基本走势图图表新浪爱彩恒定的余数(0度)。

在这种情况下,我们按照上述步骤进行操作,尝试用分子(股息)填充网格。但是,如果完成后网格与分子不匹配,则有余数。余数是我们必须添加到网格中以得出分子的额外数量。

考虑 除法问题几乎与我们所研究的第双色球基本走势图图表新浪爱彩问题相同,只是在这里我们对分子进行了些许更改,以使其不能很好地分解。



遵循与之前相同的步骤,最终得出的网格总和与所需的答案不符:最终常数项为-10而不是-9。这告诉我们剩下的+1,我们选择写在网格旁边。在我们的最终答案中, 告诉我们最后必须添加的“剩余小数部分”。


更新资料 :请参阅这篇文章 通用矩形 .
另双色球基本走势图图表新浪爱彩更新 :请参阅 这个帖子  for more examples.
再次更新 :请参阅 这个帖子 关于当您进行“向后”划分时会发生什么
再次再次进行另双色球基本走势图图表新浪爱彩更新 :请参阅 这个帖子 关于除法示例生成器。