一系列的序列和数字三角形

如前所述 以前的帖子，则可以使用以下递归关系生成三角数（以及更高的三角数）：

这些将形成帕斯卡’s三角形（如果我们移动变量 n->n+d-1 and d->r，我们熟悉了 C(n,r）为Pascal Triangle编制索引）。的 d= 2种情况为通常“flat”2D三角数和其他 d 值提供了不同尺寸的三角数。

事实证明，可以概括递归关系以生成一系列序列和三角形。考虑以下更一般的关系：

进行一些初步探索会发现四个有趣的案例：

三角数 

将所有这些附加参数设置为1，我们得到原始关系，熟悉的三角数和Pascal’s triangle.

k多边形数 

如果我们设置“zero dimension” to k-2，我们最终得到 k-多边形数（如前所述  这里 ）。三角数出现在特殊情况下 k= 3。除了在 k= 3的情况下，生成的三角形不对称。

下面是通过设置生成的三角形 k=5.

对称移位的k多边形数

据我所知 没有 这些的标准名称。 Each k 值将生成一个围绕其中心对称且边值等于的三角形 k-2。对于给定 k 值，如果您输入由的特定值生成的序列 d 进入 在线整数序列百科全书 you’我会发现其中一些是众所周知的。图中的代码对应于《百科全书》中的序列ID。

这是由 k=4:

这是为 k=5:

的 欧拉 数字 (Euler’s number triangle)

这是一种生成 欧拉 数字，它与三角形数字有很好的联系（请参见 这个帖子）。方式上有些不一致 欧拉 数字已索引，但是。为了使此公式生效，应对其进行一些更改，以便 d>0。结果公式如下所示：

三角形看起来像这样：

令人惊讶的是，可以从这样一个简单的公式生成许多有趣且众所周知的序列和三角形，并且可以将它们解释为单个家族的一部分。

法雷 的定义，属性和算法

一个 较早的帖子 概述了一些探索的想法 法雷 捉摸中的序列，但您必须已经具有生成序列的数据。这是如何生成此数据的概述。的定义和性质 法雷 序列来自哈迪& Wright's 数论概论 （我正在慢慢地解决）。

的 法雷 订单顺序 n 是分母不超过0到1的不可约分数的序列 n。因此，序列的元素具有以下形式 h / k ，在哪里 h < k < n和 h 和 k 是相对黄金的。

关于的主要定理 法雷 数字为他们提供了它们的特性（定理29 托夫 ）。的特性 法雷 顺序是，如果 h / k , H' '/ k''和 h'/ k' 是一个连续词 法雷 然后 H' '/ k'' 是个 中位数 的 h / k 和 h'/ k' 。 如果 h / k 和 h'/ k' 是两个减少的分数 中位数 is given by (h+ H' ）/（ k+ k' ）。

当定理告诉您如何实现算法时，这很好。该属性告诉我们 法雷 从F1 = {0/1，1/1}开始，可以迭代或递归构建序列。做到这一点的算法是一个很好的算法-可能不经常用作递归的教科书练习，因为它可以帮助您是否具有一些表示分数的数据结构或类，以及一种判断整数是否相对质数的方法（可以使用欧几里得算法来实现 光盘 （）函数）。

这是如何计算下一个的概述 法雷 顺序，假设您已经有一个。

0）输入一个 法雷 序列 旧序列 （初始顺序为{0/1，1/1}）

1）创建一个新的空序列 newSequence

2）迭代 旧序列 并通过找到发生的最大分母来找出其水平 n

3）设置 n= n+1

4）迭代 旧序列，查看每对相邻的元素（ 剩下 和 对)

4.1）添加 剩下 至 newSequence
4.2）如果分母 剩下 和 对 总和 n，形成他们的 中位数
4.2.1）的分子和分母 中位数 比较素，添加 中位数 至 newSequence
5）添加最后一个元素 旧序列 至 newSequence

请注意，您只需要添加新元素，其中现有相邻元素的分母之和为 n 价值-当这种情况发生时，您形成 中位数 两个相邻元素中的一个。此外， 中位数 仅当分数无法减少时才添加。

以下是一些Java- ish 与上述代码相对应的代码-它假定 旧序列 和 newSequence 是一个 数组列表 并且您有一个包含字段的Fraction类 数 （分子）和den（分母）。

这是前五个 法雷 从算法中获得的序列：

帖子顶部的图片是通过在 处理中，然后使用结果绘制关联的福特圈子-您可以使用常规Java（或其他语言）执行类似的操作。如果您绘制与序列相关的福特圆，则分数为“ 压裂 ”将以（x，y）为中心，半径为r，其中

x =（比例）* frac.num / frac.den

y = r

r =（比例）/（2 *（ 压裂 .den）^ 2）

其中“缩放”是一些缩放因子（可能在100左右），会增加图像的大小。

在这里，我决定为每个圆绘制两个副本，一个在另一个的顶部。

它仅包含0到1之间的分数，并且包含分母的所有简化分数 k < n, 连接 法雷 欧拉序列 宽容 功能。欧拉氏 宽容 函数是对给定的算术函数 k，计算小于的整数 k 相对来说是最重要的。这恰好是表格形式的一部分的次数 h / k 将出现在 法雷 顺序 k>1.

的 法雷 算法，如何绘制福特圆以及与欧拉的连接 宽容 功能在J.H.康威和R.K.盖伊 数字书 -像这样的书的伟大伴侣 托夫 .

见识

虽然我不喜欢他对现代人的厌恶，但最近我喜欢重读伯纳德·贝伦森的文章 见识。出于多种原因而引起人们的兴趣，在这里我想谈一谈它对数学和形式主义的（顺便说一下）。

在视觉，言语或音乐方面，表达方式是一种折衷方案。长期的妥协已成为一种惯例...长期存在的惯例是有效沟通的惯常捷径，无论是实际需求还是代表性需求。

。 。 。

字母是惯例。所有的算术符号也是如此。数学也是如此，甚至是最高的。的确，如果在人类思维之外的任何地方都存在有效性，那么这可能是最绝对的约定，如果没有确凿的有效性存在于我们的头脑之外……我们的整个存在和行为都包含一系列永久或成功的约定。

。 。 。

传统是一种惯例，需要不断地进行操作，以使其生动，放大，保持新鲜和柔顺，并能够产生问题并提出解决方案。要使会议活下去并富有成效地发展，就需要有创造力的天才...

。 。 。

约定在很大程度上是一种符号问题。

伯纳德·贝伦森， 见识 （纽约图形学会艺术图书馆）1953（68-13052）

法雷 ，Ford和Fathom

哈代第3章& Wright's 数论概论 涉及费雷序列-除出现在严肃的数论书籍中外，它也是休闲数学中一个有趣的，易于使用的和流行的话题。

由于我是一位坚定的建构主义者（至少从某种意义上来说是一个词），所以我认为提出带有Farey序列的活动将是一件很不错的事，而无需过多讨论它们的含义就可以进行。我想出的是一个 捉摸 该活动以一些简单但古怪的数据开始，使您可以构建一些非常有趣的图和显示。想法是，您将通过使用数据构建序列并从不同角度查看结果来了解Farey序列的含义。

步骤1.导入一些数据

这是要导入到Fathom中的数据。它应该创建具有两个属性的33个案例 n和 d.

n d

0 1

1 10

1 9

1 8

1 7

1 6

1 5

2 9

1 4

2 7

3 10

1 3

3 8

2 5

3 7

4 9

1 2

5 9

4 7

3 5

5 8

2 3

7 10

5 7

3 4

7 9

4 5

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

1 1

步骤2.添加更多属性

导入此数据后，应创建以下属性

我= caseIndex

q = n / d

dist = q-上一个（q）

中位数=（n +上一个（n））/（d +上一个（d））

d_mediant =中位数-上一页（中位数）

显示= concat（n，“ /”，d）

阅读有关Farey序列的信息后，“中间”属性的含义将变得更加清楚。

步骤3.探索一些地块

您可以尝试创建的图是：

A）在y轴上为n，在x轴上为d。

B) dist on y, i on x (a filter of i>1 makes sense here)

C) d_mediant on y, i on x (a filter of i>2 makes sense here)

D）y上的中位数，x上的q（在此处添加函数y = x有意义）

E）d在y上，q在x上

F）y上的dist，x上的q

H）x上的q没有其他属性

创建这些图时，您应该考虑描述案例所代表的顺序。它们是什么类型的数字，它们具有什么值（它们是否位于一定的间隔内？），它们彼此之间有多接近？

第4步。创建一个漂亮的显示

您可以使用Farey序列进行更有趣的视觉效果之一，就是显示其关联的福特圆。这可以通过添加两个新的滑块并编辑集合的显示设置来完成。

添加滑块“缩放”和“移位”，并为其指定以下初始值：

规模= 400

平移= 150

现在，在集合检查器上，单击“显示”选项卡，然后编辑这些属性的公式

x = q *比例+ shift

y =比例/（2 * d ^ 2）

图片= blueCircleIcon

宽度=比例/（d ^ 2）

高度=比例/（d ^ 2）

caption =“”

如果拉开显示屏，您将看到由Farey序列生成的分形图案（称为福特圆）的初始迭代。它应该是这样的：

另一个三角数公式

定义较高三角数的双递归关系很简单-出现如此频繁的现象并不奇怪。

几何解释是叠加的：对于给定的维d，您可以通过将第n个d-1三角数（gnomon）叠加到第n个d三角数上来获得n + 1 d三角数。 零维三角数只是序列：1，1，1，1，...，大概是在计数没有东西的堆栈。一维三角数是自然数：1、2、3、4，...，是通过堆叠一维情况而形成的。二维三角数叠加自然数：1、3、6、10，...，三维三角数构成三角形的金字塔：1、4、10、20，...。

如果您为更高的三角数写出一个差值表，您将得到Pascal ’的三角形。这为二项式系数的三角形提供了一个很好的公式：

由此，您可以获得使用更高的三角数时可以使用的另一个递归公式（这是“another”此帖子的公式）：

如果您更改定义的递归关系，以便初始“zero dimensional”value是非1的数字，则可以得到其他多边形（正方形，五边形，六边形，基于正方形的金字塔形等）。特别是，如果将零维值设为k-2，则会获得k多边形数（k-2对应于k面多边形中的三角形数）。

事实证明，就二项式系数而言，还有一个很好的公式：