2009年1月30日,星期五

素数的顺序



当我穿越哈代时& Wright's 数论概论  我希望将其投入到我的娱乐性数学追求中-提出有趣的(但不太繁重)的活动,这些活动大致与课本中的内容相对应。

前两章介绍素数的顺序。这是活动:获取素数列表,将其导入 捉摸,并构建可探索的地块 pn和 pi(n)和序列的其他方面会在前几千个术语中体现出来。

这是可以获取素数列表的地方之一: http://primes.utm.edu/。在我的Fathom实验中,我导入了第2262个素数。

如果将素数的顺序列表导入到Fathom中 (under the attribute 主要)并添加另一个属性 n=caseindex,您可以创建两个漂亮的图。情节A应该有 主要 作为 x 轴和 n  as the y 轴。显示功能 pi(n)。在该图中,您应该添加功能 = x/ln (x),并直观地比较两条曲线。地块B应该有 xy 轴反转。在此图上绘制函数 y = x*ln (x)显示了这种近似 pnn素数)达到实际值。




您可以添加其他属性以查看素数之间的距离 dist =原始-上一个(原始),还有双素数的频率 is_twin =(dist = 2)或(next(dist)= 2).


您还可以添加属性以保持运行 twin_primes,并保持 twin_primes。上图显示了底笔素数的比率如何随着底素数的增加而减小。帖子顶部的情节是通过将相同的数据导入 小叮当 -它建议素数和孪生素数(蓝色)的分布,直到2262个素数为止。


2009年1月26日,星期一

三角数和欧拉’s Number Triangle

如在一些地方提到的(例如 这里这里),有一个很好的标识,说明平方数可以写成两个后续三角数之和。

在这里,我们为\(t ^ d_n \)编写 n尺寸的三角形 d (d = 2是平面多边形, d= 3(因为它们是金字塔多边形等)

还有一个很好的关系,可以将多维数据集连接到多边形。事实证明,可以将一个球体立方体展开为堆积的六边形金字塔。的“packed hexagonals” or “centered hexagonals”不是通常的六角形数字–相反,它们是填充了间隙的点的六边形。下图显示了平方数如何完美填充六边形的间隙以形成“packed hexagonals,”以及如何依次堆叠它们以形成一个立方体。在这里,我们使用\({ph} ^ d_n \)“packed hexagonals”\(h ^ d_n \)代表六边形,\(s ^ d_n \)代表正方形,\(t ^ d_n \)代表三角形。


将结果与“三角剖分”身份结合起来,我们可以:
这为我们提供了三个很好的恒等式 n:

事实证明,这些恒等式可推广为的其他正整数次幂 n。每个\(n ^ d \)可以写为\(t ^ d_i \)的总和,其中i的范围是\(n \)到\(n + 1-d \)。 (对于任何小于1的i,这些项为零)
1,至少写出\(2d-2 \)项的\(n ^ d \)序列。取此序列的有限差\(d-2 \)倍(这将序列减小到“2-dimensional”数字,使我们可以在计算中使用二维三角数)。

2.新序列的第一项应为1。通过从该序列中减去\(t ^ 2_n \)来消除第一项。这意味着我们的总和以\(t ^ d_n \)开头,系数为1。确保从序列的相应项中减去\(t ^ 2_n \)值。

3.现在,序列具有一个新的第一项A。通过从序列中减去A \(t ^ 2_n \)消除该项。 A是\(t ^ d_ {n-1} \)的系数。

4.重复步骤3,每次用\(t ^ 2_n \)的倍数消除序列的第一项,这将为下一个值\(t ^ d_i \)提供系数。

5,当(\ n ^ d \)序列中的所有项都被消除时,该过程结束 d第一步。
为n的几次幂执行此过程,我们最终得到:

总的来说,我们似乎有:
其中系数A(i,k)具有良好的属性:
系数自然类似于二项式系数,并且可以像Pascal一样排列成三角形’s.
这些系数称为欧拉数,上面的结构称为欧拉’■数字三角形(不要与称为欧拉三角形的几何构造相混淆)。

也可以看看:


2009年1月22日,星期四

隐喻与数学4


如果数学是一种游戏,那么玩某种游戏就是在做数学,那为什么还不跳舞数学呢?
路德维希·维特根斯坦(Ludwig Wittgenstein)-关于数学基础的评论


数学经常被隐喻地描述- 这些隐喻采用的形式包括 有机, 机械, 古典和 后现代,还有无数。在这些隐喻中,数学可以是一种工具或一组工具,一棵树,树的一部分,葡萄树,游戏或一组游戏,而数学家则可以是机器,游戏玩家,艺术家, 发明者或探索者.

尽管使用了许多比喻来描述数学,但在流行的语篇中,数学常常被简化为其中一部分,而被转喻为仅关于数字,公式或其他一些有限的方面。隐喻比转喻比观念更完整地替代了概念-允许我们链接似乎没有任何直接关系的概念。也许,发烧友使用隐喻语言来提升和扩展我们对数学的理解,以应对经常遇到的更有限和越来越少的转喻描述。

但是,通过隐喻来描述和提升数学的尝试似乎还不够。 我们对事物的通常思考方式是询问其含义-假定该含义位于表面之下或之上。隐喻通常依赖于在更深层次上的概念之间的联系。纯粹的数学形式主义挫败了这种通常的思维方式,使我们无法把握不断回避的意义。绝对数量和种类 许多关于数学的隐喻表明,至今还没有一个令人信服的发现。寻找这种统一的隐喻的反复尝试可能是对付纯粹的数学形式特征的正在进行且永远失败的尝试。数学的形式性可能总是会摆脱任何试图将其束缚住的隐喻。

2009年1月16日,星期五

卑微乘法表,1



在乘法表中发现一个令人惊讶的关系,即主向上对角线中的项和其上对角线的总和等于主向下对角线中的项的总和。 令人惊讶的是,这只是关于乘法表的若干观察结果之一,可以用以下公式表示: 多边形数.

此关系涉及三维三角数(基于三角形的金字塔数或四面体数)和三维平方数(基于正方形的金字塔数)。下面显示了这些的一些值以及其他一些多边形。

要了解为什么保持这种关系,首先请注意 n乘法表中的第一个向上对角线等于 n第三维三角数。 


其次,观察他在主向下对角线上的条目是平方数(二维),因此主向下对角线的总和为 n第三个三维平方数。 

最后,我们利用一个事实(一个任意维度的平方数)可以分成两个(相同维度的)三角数这一事实,这给了我们令人惊讶的结果。


下图显示了4x4乘法表的关系。

2009年1月14日,星期三

发明/发现

我从事数学已有57年了。我的经验是什么?我发现还是发明?我是詹姆斯·库克(James Cook),发现已经存在的东西,还是托马斯·爱迪生(Thomas Edison),将新事物带入新世界?…我的回答是明确的:对我而言,体验是发明之一。 
爱德华·尼尔森 (2002年) 语法和语义


数学是发明还是发现?当数学家得出他们的结果时,他们只是产生了没有实际现实的精心设计的心理构造…还是数学家真的发现了实际上已经存在的真理‘there’ –存在完全独立于数学家的真理’活动?我认为,到现在为止,读者必须非常清楚我是第二观点的拥护者,而不是第一观点的拥护者。… 
罗杰·彭罗斯, (1989) The Emperor’的新思想。牛津大学出版社,p126


数学家是发明家,而不是发现者。 
路德维格·维特根斯坦,(1938年)关于数学基础的评论,I-168