割线和切线

三角比的名称 切线 和 割线 源自拉丁文“to touch” and “to cut” –与图形的切线是一条在某处触及它的线，割线将其切成两部分或更多。但是这些几何术语与具有其名称的比率有何关系？答案可以使用帖子顶部的图表显示-以前在高中Trig教科书中使用的标准图表。

考虑锐角BAC。允许| AC | = 1，并构造一个绕A的圆，该圆穿过C。在C处构造一个与该圆的切线，然后延伸线段AB，使其在E处与该切线相遇。因此，线段CE位于切线上，而线段位于AE位于BAC周围形成的单位圆的正割线上。 ACE是一个新的直角三角形，其中包含原始BAC。

BAC的切线为BC / AB（对面/相邻），但是如果现在看第二个三角形ACE，我们会看到它也由（CE / AC）=（CE / 1）= CE给出-切线为通过切线段CE测得。同样，BAC的割线由AC / AB（斜边/相邻）给出，但再次转到第二个三角形ACE，我们看到这是（AC / AB）=（AE / AC）=（AE / 1）= AE-割线由割线的长度AE提供。

这种处理方法取自G. Wentworth于1903年出版的《平面三角学和表格》一书。在该时代的一些文献中，“主要”三角学比是 罪 , 秒 和 棕褐色 （而不是 罪 , cos 和 棕褐色 ），也许是由于它们的重要性在于上述结构。

余弦被认为是二次三角比例-其名称来自“补正弦”一词。除通常的比率外，文本通常还提供了一些已经过时的便捷比率，例如versedsine vrsin (x ）= 1- cos (x）和半正弦或正弦 v (x ）= (1/2)vrsin(x ）。

最基本的三角比例具有最晦涩的名称。一般认为“sine”来自拉丁词“bend,”但有人建议，该词最终源自于由toga的聚集所形成的曲线的名称，或源自拉丁词“ for”。“bowstring.” In 算术，代数，分析，Felix Klein指出“sine”表示阿拉伯语单词的拉丁语错误翻译，但不再进一步解释其起源。

我的温特沃斯版本是1903年-可下载1887年版本的PDF 这里 .

隐喻与数学3

在许多传统中 比德曼 符号词典 告诉我们，“树被广泛认为是 轴 蒙迪 围绕它组织的宇宙”，并且如 以前的帖子，已被广泛用于描述 关系 在数学和其他科学之间。与许多学科一样，数学本身通常被描绘成一棵树，其子主题构成了继续增长和分支的分支。

最近的一些文章对使用树隐喻描述数学采取了更为后现代的观点。

丹·肯尼迪的在数学树上爬，“ （全文 这里 ）和格雷格 麦考姆氏 "数学教育的隐喻“最近有两篇文章以类推的方式对数学是什么以及应该如何教授进行了争论。在肯尼迪的观点中，数学是一棵树，而 麦考姆氏 它是藤本植物-都是有机的，正在生长的和分支的。什么 区别 传统树类比喻的这两种用途是，两位作者都根本没有暗示我们可以退后一步，对整个结构进行考察，并了解其各个部分之间的关​​系。提供一个 全面 对此主题的看法 可测量的，是 存在-d'être 像“科学之树”这样的隐喻。两位作者都建议不要将自己视为不断增长的结构的一部分-攀登者和园丁，他们看不见复杂的有机整体，但可以探索并倾向于其中的一小部分。在这些 说明，自然形态，例如树木和植物，曾经是简单性的隐喻， 可理解性，现在提供了复杂性的隐喻。

在数学树上，肯尼迪建议 数学家 正在努力扩展其外部分支机构。这是最好的视图，可以找到水果，并且可以最清楚地看到数学的美。学校数学是树干的一部分，是树的坚实，最古老，最稳定的部分，数学老师会花时间帮助学生爬树干，希望有一天可能有一天能到达树干的外部。 不幸，后备箱的难度使大多数人无法攀登。肯尼迪建议，与树枝相比，我们应该不那么关注树干，而技术可以为爬升提供帮助。

麦考姆氏 数学的 藤蔓本身不是数学本身，而是一种依附于基本现实的结构 数学的 真相。在这个比喻中，数学就像一座隐藏的塔，只有通过观察围绕它成型的葡萄树才能看到其形状。就像肯尼迪的类比， 数学家 是帮助结构成长的管理员。对于 麦考姆这样的类比强调了数学教育的重要性- 强化 藤蔓，使其可以继续生长。也许是因为他的听众主要是大专研究人员，所以他不主张寻找捷径来获得“更高”的观点，而是建议通过“趋于成功”促进教育-澄清数学和 强化 不同分支之间的连接。

尽管他们暗示了更多的结构在起作用，而不是一个稳定的统一整体，但有机隐喻就像 麦考姆和Kennedy continue to suggest a natural unity among the various parts of mathematics. In that sense they are still rooted (or centered), and, although they have somewhat 不稳定的 树比喻，他们 还没 相当 解构的 它。例如，他们还没有走到最远 维特根斯坦，他似乎暗示，试图以这种定义方式将数学学科联系起来的隐喻是被误导的。他认为，正如 阿克曼 （1988，第115页）：

数学是语言游戏的集合，没有清晰统一的外部边界，可能会引起混淆和 纵横交错 穿越 子学科 由类似证明技术的内部网络连接在一起。

很容易欣赏肯尼迪的树木中有些登山者和 麦考姆氏 葡萄树最终像罗兹的主角一样 查斯特的 cartoon "从数学悬崖上掉下来", where step 1 is "A boy begins his wondrous journey,"和step 8 is " 的 plummet."

这篇文章中的图像是“毕达哥拉斯树”的分形，使用 普惠制 .

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隐喻与数学2
隐喻与数学3

关于因子和扩展乘法表的更多信息

如先前文章所述， 因子格和the 扩展乘法 表在算术函数中有一个公共链接，我们将其称为 f.

在上面的公式中，p_i值是不同的素数。功能 f 告诉我们n在扩展乘法表中出现的次数，并告诉我们n的因子格中节点的数量。注意 f（1）= 1，并且 f(p）=每个素数2 p.

从公式可以看出 f(n ）是 可乘的 -如果 n和m 相对来说是素数 f( 纳米 ）= f(n)f(m）。这个事实使得计算起来更容易 f(n）值。

其他乘法算术函数包括Euler totient函数， 塞塔 (n），以及求和除数的函数 n, 西格玛 (n ）。

这篇文章顶部的图表显示了的前500个值 f(n ）。

隐喻与数学2

第一本关于代数的英语教科书（出版于1557年）的作者Robert Recorde选择给他的书加上隐喻的标题 维特的磨刀石 鼓励人们采用新的困难的代数方法。磨刀石或磨刀器的比喻表明，代数不仅有用，而且可以很好地进行智力锻炼。在他的标题页中，他写道：

它的用法很棒，而且不止一个。 在这里，如果你把智慧弄湿了， 因此，您将获得更多的清晰度。 愚蠢的人在此大有补益， 机智的人被罚款到尽头。

数学，尤其是代数，根据 维特的磨刀石 就像大脑的磨刀器一样。四百年后，在他的书中 数学家的喜悦 （1961），W.W。索耶（Sawyer）提出了一个类似的比喻，他认为“数学就像工具箱：在详细研究工具之前，一个好工人应该知道每种工具的目的，用途，使用方式。”无论是将数学描述为磨刀器还是其他工具，这些机械隐喻通常用于强调数学的实用性和多功能性，尤其是在工程学或科学中使用时，建议应慎重且精确地使用它。

保罗·鄂尔多斯（Paul Erdos）经常引用一个机械式的隐喻，暗示一个更疯狂，更不精确的数学创建过程：“数学家是将咖啡转化为定理的机器。”

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隐喻与数学1

当被要求描述数学时，我们经常求助于隐喻而不是试图提供严格的定义。这些来自1930年代高中数学教科书的图片就是这种趋势的一个例子。

这些图像的简单层次结构通过吸引我们对学科之间有机统一的渴望，解决了数学与科学之间的复杂关系，从而使数学在科学的一般概念中具有基础作用。这些图像很吸引人，但经不起审查。

当数学有时被描述为一门科学本身时，数学与科学之间的简单关系就变得复杂了。需要注意的是，它是一门精确的演绎科学，与通常的归纳法不同，它使“空间和数量科学”的定义更加复杂。沿着这种思维方式进一步发展，数学被描述为一种超科学，或者说是科学可能追求的极限点-清空了所有经验内容的科学，即纯思想的科学。尽管有些人将数学视为科学的基础，另一些人将数学视为超科学，但新兴的实验数学领域将数学带回到了经验领域，将其还原（或提升）为一门其他科学。因此，数学可以看作是树的根，分支，甚至是树本身的形式。

短暂地思考这些事情就引起了贝特兰·罗素（Bertrand Russell）的一句话的同情。



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视窗模式

从一张正方形的纸开始（例如“便利贴”），将其折叠并沿中线或对角线对开。取另一个相同的正方形，然后以相同的方式折叠和展开。确定以某种方式将第二个正方形放在第一个正方形上，以便第二个正方形有所旋转。仅使用正方形的边缘和所产生的折痕来确定位置。使您的放置精确，以便可以根据边缘和折痕准确地描述“规则”。重复此过程，使用完全相同的规则将第三个正方形放在第二个正方形的顶部。重复进行，直到放置纸张将您带回到第一部分为止。

生成的构造可能类似于下面左侧所示的构造。如果您拿起纸，用一些细微的胶水将它们放置在适当的位置，然后将它们放在窗户上，阳光穿过重叠的纸会产生彩色玻璃效果，呈现出各种形状。

这种结构是William Gibbs在他的书“视窗模式在吉布斯（Gibbs）的处理中，预先对图案进行了部分规划，然后使用较小的三角函数确定构成图案的矩形纸的尺寸。可以通过从更有限的范围开始以简化此过程。事实证明，仅使用正方形，中间线和对角线就可以创建数量惊人的窗口图案，并且这些图案始终具有“特殊三角形”以及相关的正多边形和星形-嵌入其中的多边形。

Here are a two more "placement rules"和the patterns that they give rise to.


该图使用 几何画板 -如果您使用应用于已构建正方形的平移来构建规则，则可以使用迭代功能来创建最终模式。 GSP提供了一个良好的环境，可以在用纸构建模型之前对其进行计划，并且在GSP中构建计划也是令人愉快和有益的。

星多边形

从...开始 p (p 一个正整数）在圆周围均匀分布的点（顶点）。当您绕圆移动时，将每个点连接到下一个点将为您提供常规 p-gon-一个 p双面多边形 p 顶点。但是，如果跳过每个固定点数而不是将每个点连接到它旁边的点，那么您可能最终会得到一个星形图案，就像上面显示的那样。在此过程中，假设您从一个特定的顶点开始，然后沿逆时针方向移动。当您回到起点时，如果仍有任何点遗留下来，只需丢弃未连接的点即可。

多边形的Schläfli表示法对于描述规则连接的星形多边形非常有用，并提供了一个示例，说明有时带有表示法的计算与通过图完成的计算完全匹配。在这种表示法中，诸如三角形，正方形，五边形等规则多边形分别记为{3}，{4}和{5}。一个普通的 p-gon写为{p}。如果在绘制您的 p-gon，您连接到第二个下一个顶点，而不是第一个，然后将其写为{p/ 2}。如果您连接到第q个下一个顶点，则可以将此多边形写为{p/q}。请注意，如果您只是连接到下一个顶点以制作规则的p-gon，则该符号为您提供{p/ 1} = {p}，正如您所期望的。

如果您开始进行此过程，您会发现{p/q}为您提供与{p /（ p-q）}（只要您忽略多边形的方向）。您可能还会注意到，如果 q 大于 p，您最终会重复相同的模式，特别是{p/q } = { p /（ q 模 p）}。您还将注意到，如果p和q具有公因子，则最终会跳过顶点。在我们的过程中，我们将这些丢弃以确保已连接多边形，但是您可以扩展过程并保留它们（请参见下面的注释）。

所描述的过程很容易在程序中实现。此处显示的图像是在Tinkerplots中生成的。要在Tinkerplots中实现它，您需要两个滑块- p和q，以及以下属性：

n = caseIndex（）
θ= 2 * n * pi（1-q / p）
x = cos（θ）
y = sin（θ）

If you create a plot with y vertical and x horizontal, choose "show connecting lines"和add a filter n<=p+1，您可以向集合中添加大量个案（例如〜200个），并能够滑动p和q来创建各种各样的连接星形多边形。唯一的限制是p必须小于您创建的案例数。在这里使用Tinkerplots并没有什么特别的-任何具有合理图形的编程环境都应该做合理的工作（Logo可以。）。

下面的多边形是基于12个顶点的规则连接的多边形。因为12可被2、3、4和6整除，所以我们得到正则多边形三角形{3}，正方形{4}，六角形{6}和仅一个星形多边形{12/5}。 “简并”多边形{2}被称为“ digon”。在这里，先绘制图表，然后查看出现了什么多边形，将得到与先分割p / q然后再绘制相应多边形相同的结果。从这个意义上讲，符号和图表可以很好地相互反映。


与此形成对比的是使用素数顶点时生成的星形多边形系列。下图是在13个顶点上生成的规则连接的多边形族。


注意-通过丢弃过程中未连接的点，我们将忽略由重叠的不相交的星形或规则多边形构成的星形多边形，例如，两个构成David星形的重叠三角形。这些也可以与Schläfli表示法一起很好地工作. 要创建这些重叠的多边形，如果您有任何跳过的顶点，则只需从跳过的其中一个顶点开始重新开始处理即可。在{6/2}的情况下，您将得到两个重叠的三角形，即2 {3}，而不是得到一个三角形{3}。要编写一个可以绘制这些图形的程序，您可能想使用比Tinkerplots更复杂的图形。

扩展乘法表

一个令人惊讶的有趣结构是 扩展乘法表，上面显示的数字为7到10。绘制这些内容的算法很简单-对于 n-extended table，开始时就好像您在编写“常规”乘法表一样，但是要扩展每一行，以使它尽可能接近但不超过 n。考虑它的另一种方法是写出“跳过计数到 n “由 i for integers i 从1到 n.

这被称为扩展乘法表，因为其中包含一个“传统”乘法表。下面的12扩展表包含传统的3x3乘法表。


事实证明1在扩展表中出现一次，质数恰好出现两次（在第一列中一次，在第一行中一次）。通常，对于自然数 n多少次 n 出现在 n-扩展表？

在看这个问题之前，您可能需要考虑寻找更简单的方法来绘制表格。手工绘制这些表可能很麻烦-一个简单的程序或电子表格可能会更容易。例如，您可以使用Fathom创建表数据并将其绘制在集合显示中。创建一个滑块 m和the attributes listed in the table below (click on the image to see a larger version).


修改集合显示属性以在集合框中绘制表。通过添加大量案例并使用滑块m过滤掉不需要的案例，您可以轻松地更改表格的大小。


有趣的是，“ n扩展表中n出现了多少次”这个问题的答案？与以下问题的答案相同 以前关于因子晶格的帖子.

的出现次数 n 在里面 n扩展表=因子晶格中的节点数 n

您也可以将这两个问题（在n扩展表中出现n的次数以及Fn因子晶格中的节点数）重铸为组合的“骨灰ball”问题。

考虑一组有m种不同颜色的彩球，其中有i种颜色的ki球，其中i的范围是1到m。这将得出等于k1 + k2 + ... + km的球总数。假设您将这些球分散在两个中。会有多少种不同的分布？使用一些计数技术，您会发现答案是（k1 + 1）*（k2 + 1）* ... *（km + 1）。

这与其他问题有何关系？考虑数字的素数分解。为每个素数选择一种颜色，并针对因式分解中素数的每次出现，添加一个该颜色的新球。例如，对于12 = 3 * 3 * 2，选择两种颜色-比如说blue = 3和red = 2。由于3发生两次且2发生一次，因此应该有两个蓝色球和一个红色球。现在考虑将这些球分布在两个中。事实证明，您有（2 + 1）*（1 + 1）= 6种可能性。这是12扩展表中出现12的次数相同，并且12因子晶格中节点的数量相同。下图显示了12扩展表，12因子格和数字12的“球和问题”。


对于一个数字 n 使用素数分解：

这三个问题的答案如下：

螺旋轴2

的 以前的帖子 显示了使用TinkerPlots创建的一些类似于叶序的螺旋。如果将同一文件带入Fathom，则可以使用其对收藏夹显示的支持来创建“有等级的”图片，该图片使中心种子比更成熟的外部种子看起来更小（更年轻）。

如果您已经在Fathom中创建了phyllotaxis数据，或者在Fathom中打开了在TinkerPlots中创建的数据，则可以更改拖动打开的收集框时获得的显示。在Fathom的Collection Inspector的显示选项卡下，可以设置显示属性，以使案例不再显示为均匀的金球。将显示属性设置为以下值将使您像上图所示那样不断增长。

x = 10x + 400
y = 10y + 400
图片= greyCircleIcon
宽度= sqrt（r * 10）
高度= sqrt（r * 10）
caption =“”

请注意，出现在上面等式右侧的x和y是您为数据定义的x和y属性，而出现在左侧的x和y对应于图标的位置。您可以试验宽度和高度的其他公式-使用滑块提供变量而不是数字“ 10”，可以提供更大的灵活性。

下图显示了通过改变种子之间的角度可以获得的其他一些螺旋，如前一篇文章中所述。

音轴螺旋

音位轴是用于植物生长中出现的模式的术语。在向日葵的头部，松果和菠萝以及其他各种植物中均观察到螺旋的叶序。

Phyllotaxis是数学娱乐中的一个热门话题-它本身很有趣，而且还与其他常年收藏，斐波那契数和黄金比例有关。

文章 在GSP环境中建模螺旋增长 描述了如何在GSP中建模类似叶序的模式。尽管GSP运作良好，但TinkerPlots或Fathom环境似乎更适合捕获此特定模型-它们使公式更明确，更易于操作，并且允许以各种方式查看生成的数据。上面的图像是通过将该模型移植到TinkerPlots上创建的。

正如文章所建议的那样，通过试验连续种子之间的角度，您可以看到不同的结果模式-有理数倍数的角度会创建射线的模式，而无理数（实际上是近似值）会产生螺旋或螺旋/射线组合（随着近似值变得更“理性”，射线就形成了）。近似实际的叶序模式的一个不错的选择是在您的角度使用tau =（1 + sqrt（5））/ 2。这是在TP或Fathom中生成模式所需的属性列表。图形/图只是水平的x属性和垂直的y属性（在TP中，这些必须完全分开）。

n = caseIndex
base_angle = pi *（1 + sqrt（5））
r = sqrt（n）
塞塔 = n * base_angle
x = r * cos（θ）
y = r * sin（θ）

这篇文章中显示的图像使用了500个案例或“种子”的集合。底角为2pi * tau，给定种子的实际角度为该底角的倍数。

该模型外观漂亮且易于构建，但它仅对增长过程的最终结果进行建模，而不对过程本身进行建模。它以预定角度围绕外缘缠绕新种子。更好的模型应该是可以反映被理解为潜在音素的模型：将新种子添加到中心，并按照一组规则将旧种子推出。在这种动态方法下，角度和螺旋线是系统的一个新兴方面，而不是明确的结果。 本网站 描述了如何对这种动态系统进行建模。

尽管Fathom / TP模型没有对构成花序轴基础的动力系统进行建模，但单独使用它还是很有趣的。您可以按照GSP文章的建议手动更改base_angle属性。如果添加参数（滑块）以帮助您改变角度，则可以获得一系列螺旋/射线图案，您可以对其特性进行仔细研究。角度和滑块的不同组合将使您对图像进行各种级别的控制。

例如，将base_angle的公式更改为 base_angle = pi *（1 + sqrt（5））*基数，并创建一个滑块“基础”。下图显示了基数= 1 ... 6时获得的螺旋。



更新资料: 这是一个例子 如何在R中绘制这样的螺旋

因子格

上图所示的对象是有趣的结构-它们是从给定数的素数分解得出的 n。可以通过多种方式来描述它们-例如，作为有向图。因为它们的结构很好，所以它们实际上形成了更特殊的东西-晶格。因此，这些结构称为 因子格.

按照以下说明开始手工绘制这些图很容易。

1.第一个节点是1
2.对于n的每个素数，从该节点绘制箭头。
3.您刚刚绘制的箭头应连接到素数为n的节点。

现在，对于您绘制的每个新节点，请执行以下操作：

4.从不等于n的节点x开始。
5.对于每个n / x素数，从该节点绘制箭头。
6.您刚才绘制的箭头（每个p = n / x一个）应连接到标有数字p * x的节点。

7.现在对您绘制的每个不等于n的新节点重复4,5和6。

此过程是递归的，并在您拥有完整的晶格后结束。该过程非常适合作为计算机程序来实现-上面的图像是使用SAGE使用Java程序基于上述算法的输出创建的。

手动尝试对n = 24这样的数字进行逐步运算是这样的：首先写出素数分解为24，24 =（2 * 2 * 2）* 3 =（2 ^ 3）* 3。从1开始，向2和3绘制箭头。现在查看每个节点并遵循算法，从2向箭头4和6绘制箭头。从3向箭头6的箭头也绘制出来。从4您将箭头指向8或12。从6您也将箭头指向12。从8和12，您会得到箭头，箭头指向24，您已完成。

In general, the algorithm produces a lattice that can be described as follows. Each node is a factor of the given number n. Two nodes are connected by an edge if their prime factorization differs by a single prime number. In other words, if a and b are nodes, and p = b/a, then there is an arrow p:a-->b.

在晶格结构和数字n的素因式分解之间建立连接是一个很好的练习。

1.质数的因子格是什么样的？
2.如果数字只是质数的幂，那么其晶格是什么样的？
3.如果知道因式分解，是否可以在不绘制晶格的情况下找到节点数。

最后一个问题（3）的答案可以表示为：

例如，如果n = 24 = 2 ^ 3 * 3，则节点数将为（3 + 1）（1 + 1）= 8

可以将这些结构视为“晶格”，是因为您可以将箭头视为节点的顺序ab。数字1始终是n的因子晶格中的最小节点，而n本身是最大节点。实际上使这些结构成为“晶格”的属性是，对于任何两个节点，晶格中任何一对节点始终存在一个下限，而该对中则总是存在一个上限（这些通常称为 遇见 和 加入 ）。

Wolfram示范项目有一个很好的 因子晶格演示 这将为您绘制大量整数的因子晶格。 Wikipedia上还有一个很好的条目 晶格 in general.

割胶多面体模型

建立多面模型是探索许多重要数学的好方法。上述模型是通过将图案打印到卡片纸上，切下并粘合在一起而制成的。对于这些模型，仅使用三角形面。这些可以为您提供各种各样的累积（或增强）多面体。三角形的面是外接的，以提供将您粘在一起的凸舌。您可以折叠并粘贴这些选项卡，使它们位于模型中，但更容易将其遗漏，并且这样看起来很不错（我认为）。

1.确定您要制作的模型，并弄清您需要多少张面孔。
2.将以下图像复制并粘贴到文档或演示幻灯片中（PowerPoint效果很好）以进行打印。为您的模型选择正确的模型，并在一张纸上尽可能多地容纳它们。
3.打印到卡片纸上。大多数台式喷墨打印机可以使用卡片纸代替打印机纸。
4.剪下单元，折叠卡舌，然后组装并粘贴。

在整个过程中，如果您要构造多面体的图片，将很有帮助。 保利 是用于浏览多面体家族的不错的软件包。

我发现，使用直尺弯曲凸片效果很好，胶棒提供了最佳的粘合效果，并且有助于在组装时将模型与活页夹固定在一起。

多边形数公式

此博客上的一些帖子已涉及 多边形数。多边形数字是休闲和学校数学的支柱，在数字和形状之间架起了一座桥梁。上图（使用中的说明创建 更早 post）显示一些六角形数字。

该帖子旨在提供有关二维多边形的一些（有限的）背景信息。一个 以前的帖子 提出了一种生成高维多边形数公式的方法。未来的职位将详细说明这些数字。

二维多边形数的一些示例是：

三角数：1、3、6、10、15 ...
平方数：1，4，9，16，25，...
五边形数字：1、5、12、22、35，...
六角数：1、6、15、28、45，...

将六角形数字列表与上面的图表进行比较，您可以看到如何以图表形式构建序列。通常，从单个点开始，通过添加由k-2个段组成的层（称为gnomons）来构建k面多边形，gnomon的每个段都比上一层的段多一个点。这样，第n个gnomon由每个n个点长的段组成，但k-3个点由相邻的段（角）共享。

上面的描述可以带您找到k多边形的递归公式，为第n个k多边形数写p_k，n：

展开递归将为您提供k多边形的求和公式：

了解一些关于和的知识，可以直接得出k多边形的公式：
k多边形的以下组合公式有点左移：

最后一个公式表达了两个想法：三角数对应于Pascal三角的r = 0列，并且每个多边形都可以被“三角剖分”：


p_kn的组合公式可以推广为更高维的多边形数（金字塔数等）。看到这个 以前的帖子 对此进行一些讨论。

这里的重现在于显示p_k，n的各种公式实际上是相同的，然后探索不同k多边形之间的关系。 J.H.康威和R.K.盖伊 数字书.

园部 Phizz对偶

园部和 菲兹 模块化折纸单元以相似的方式组装成多面体模型，但是它们产生的模型彼此“对偶”（一个顶点对应另一个面）。考虑到这种对偶性，从Sonobe和phizz单元中组装模型提供了一种探索对偶性以及边缘，面和顶点之间关系的好方法。

园部和phizz模块都是边缘模块的示例，这些边缘模块以3组的形式组合在一起。在两种情况下，当这些单元以3组的形式组合在一起时，它们会合在一个小的三角金字塔中。这些金字塔又以3到6的群集组合在一起。phizz和sonobe模块之间的本质区别在于这些群集的形成方式。在phizz中，组之间存在间隙，因此生成的簇似乎形成了多边形的边缘。在sonobe中，组之间的距离很小，因此群集似乎围绕一个点形成。因此，在phizz中，群集的中心扮演多边形的角色，而在Sonobe中，群集的中心扮演顶点的角色。同时，由三个单元组成的金字塔在phizz单元中变为凸起的顶点，而在Sonobe中，它们变为所得多面体的累积面。

我们自然地将phizz模块生成的内容解释为多面体骨架，而我们将Sonobe生成的形状视为累积的（或增强的）多面体。这种不同的解释是基于模块簇中心形成的间隙的大小这一事实表明，将折纸模型视为特定的多面体或其对偶在某种程度上是感知和解释的问题。

在phizz模型中，模块以3组的形式组合在一起的事实表明，完成的模型的顶点（或价数）为3，而在sonobee情况下，这3个单元组合在一起构成三角形面。对偶模型的边数相同，这与构建模型所需的模块数相对应。

您可以构建的一些模型总结如下。帖子顶部的图片显示了30个单元的phizz十二面体及其双单元30个单元的sonobe二十面体。

电源序列中的数字模式

查看形成正数b的序列b ^ 0，b ^ 1，b ^ 2，b ^ 3，...的数字中出现的最后几个数字，您会注意到这些数字将始终以在某一点之后重复。例如，查看b = 2、3和4的序列的最后一位，我们得到了序列

b = 2：1，2，4，8，6，2，4，8，6，...
b = 3：1、3、9、7、1、3、9、7 ...
b = 4：1、4、6、4、6、4、6，...

如果我们看一下这些序列的最后两位数字的序列，其中b = 2，我们有

b = 2、1、2、4、8、16、32、64、28、56、12、24、48、96、92、84、68、36、72、44、88、76、52、4 ...

然后，此序列重复从4开始的循环。

我们可以将这些序列描述为T_b，d（n）=（b ^ n）mod 10 ^ d。递归地，T_b，d（n）=（T_b，d（n-1）* b）mod 10 ^ d

这些序列最终总是周期性的。尽管这些序列很容易理解和计算，但是有几种有趣的描述方式。

例如，您可以将T_b，d的元素视为可交换的对映体，其乘法定义为a * b =（a * b）mod 10 ^ d。因为1始终是成员，所以它们形成一个monoid，并且您可以显示T_b，d在*运算下已关闭。事实证明，对于b和d的某些值，T_b，d是一个组。

您也可以将此集视为有限状态机或图形，其中每个元素都是一个节点，并且从一个节点到下一个节点的过渡由* b mod 10 ^ d操作定义。这提供了一种显示序列的好方法。这篇文章中的图片是通过编写一个简短的程序来计算序列，然后格式化输出以在其中绘制有向图而创建的。 智者 。帖子顶部的图形是b = 8，d = 1，而下面的图形是b = 2，d = 2。页面底部的图形表示b = 7，d = 1。

高多边形数和帕斯卡三角形

帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）中的第三对角线列（r = 2（按通常的标记和编号方式）由 三角形的 数字（1、3、6、10，...）-可以按二维三角形模式排列的数字。 Pascal三角形的第四列为我们提供了基于三角形的 金字塔形的 数字（1、4、10、20，...），通过堆叠三角形数字来构建。这些列进一步给出了“较高维”的三角数，该三角数是通过堆叠前一维的三角数而得到的。

帕斯卡三角形中出现三角形和高维三角形的数字并非偶然。如果您考虑根据方程式对多边形进行分层，则会得到

在上式中 p^d _（ k,n） 是个 n 日 k-尺寸的多边形数 d。三角数是维度2的3多边形数，正方形数是维度2的4多边形数，“基于正方形的金字塔数”将表示为 p^3_(4,n ）。

从上面的总和中，您可以获得以下等式：

看起来非常像Pascal Identity C（n,r）= C（n-1,r-1）+ C（n-1,r），但对变量进行了一些翻译。确切地说，如果我们考虑以下情况 k= 3并使用 r = d和n '= n+d-1可以将三角数转换为Pascal三角中的适当位置。

连同末尾列的定义，Pascal Identity使我们能够生成整个三角形。这建议了以下策略来计算较高的k多边形数：创建一个修改的Pascal三角形，其第一列等于k-2（而不是1），而最后一列等于1（通常）。使用这些初始值和通常的Pascal Identity，可以生成修改后的Pascal三角形。

这是一个k = 5的示例，该示例将第一列的值设置为等于3（顶部值除外，我们将其保持为1），并产生五边形数（第3列）和较高的五边形数。

这些的公式 修改过的Pascal三角形 由以下等式给出：


如果应用上述变量的更改，则可以根据组合来获得较高多边形数的通用公式：


此公式说明了如何用三角数构建多边形。它说第n个d维k多边形数等于第n个d维三角数，再加上（k-3）个n-1 d维三角数。当您忘记了较高的维数并查看规则的二维多边形数时，这会更容易理解，如另一个 发布 .